Bài toán [Hình học vectơ, các đường đồng quy]

Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $P,Q,R,S$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Gọi $P_1,Q_1,R_1,S_1$ là hình chiếu vuông góc của các điểm $P,Q,R,S$ lên các cạnh đối của nó. Gọi $I$ là giao điểm của $P{P}_1$ và $Q{Q}_1$. Chứng minh rằng :

a) $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

b) $P{P}_1,Q{Q}_1,R{R}_1,S{S}_1$ đồng quy

Lời giải :

a) Gọi $E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BD,AC$

Ta sẽ chứng minh rằng $OEIF$ là hình bình hành.

Thật vậy,

Ta có $QE//CD$ (tính chất đường trung bình) mà $CD\perp P{P}_1\Rightarrow P{P}_1\perp QE\Rightarrow P{P}_1$ là đường cao của tam giác $PQE$. Tương tự thì $Q{Q}_1\perp PE\Rightarrow Q{Q}_1$ là đường cao của tam giác $PQE$

Mà $I=P{P}_1\cap Q{Q}_1$ nên $I$ là trực tâm tam giác $PQE$

Do đó $EI\perp PQ$

Lại có $PQ//AC$ (tính chất đường trung bình) nên $EI\perp AC$. Nhưng $OF\perp AC$ ($F$ là trung điểm của $AC$)

Suy ra $EI//OF$.

Tương tự $IF//EO$.

Vậy : $OEIF$ là hình bình hành.

Theo quy tắc trung điểm và quy tắc hình bình hành :

$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$$=2(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF})$$=2\overrightarrow{OI}$$\Rightarrow \overrightarrow{OI}$$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$

b) Gọi $I^{\prime }$ là giao điểm của $R{R}_1,S{S}_1$ thì tương tự ta được $\overrightarrow{O{I}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Suy ra $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{O{I}^{\prime }}\iff I\equiv I^{\prime }$

Vậy : $P{P}_1,Q{Q}_1,R{R}_1,S{S}_1$ đồng quy