Bài toán [Số chính phương]

Bài toán : Cho ba số tự nhiên $a,b,c$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=c(a+b)+ab$. Chứng minh rằng : $8c+1$ là một số chính phương.

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho tương đương :

$$4c^2=c^2+ab+bc+ca=(a+c)(b+c)$$

Đặt $(a+c;b+c)=d$ thì :

$d|(a+c)-(b+c)\Rightarrow d|(a-b)\Rightarrow$ $d=a-b$ hoặc $d=1$

(chú ý $a-b$ nguyên tố )

• Trường hợp 1 : Nếu $d=1$ thì $a+c$ và $b+c$  đều là các số chính phương

Đặt $a+c=m^2,b+c=n^2(m,n\in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow m^2-n^2=a-b\Rightarrow m-n=1\Rightarrow m=n+1$

Mặt khác : $4c^2=m^2{n}^2\Rightarrow 2c=mn\Rightarrow 8c+1=4mn+1=4n(n+1)+1=(2n+1{)}^2$ là số chính phương

• Trường hợp 2 : Nếu $d=a-b$ thì :

$a+c=(a-b)x$ và $b+c=(a-b)y(x,y\in \mathbb{Z})$ $\Rightarrow (a+c)-(b+c)=(a-b)x-(a-b)y\Rightarrow a-b=(a-b)(x-y)\Rightarrow x-y=1\Rightarrow x=y+1$

Ta có : $4c^2=(a+c)(b+c)=(a-b{)}^{2}xy=(a-b{)}^2.y(y+1)$

Do đó $y(y+1)$ là số chính phương. Tích hai số tự nhiên liên tiếp là số chính phương khi tích đó bằng 0.

Suy ra $c=0$. Khi đó $8c+1=1$ là số chính phương

Vậy : $8c+1$ là số chính phương