Bài toán [BĐT Cauchy-Schwarz]

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge 4(a+b+c+1{)}^2$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz :

$$4(a+b+c+1{)}^2\le 4(a^2+3)\left(1+\frac{(b+c+1{)}^2}{3}\right)$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh :

$4\left(1+\frac{(b+c+1{)}^2}{3}\right)$$\le (b^2+3)(c^2+3)$$\iff 3b^2{c}^2+5b^2+5c^2+11$$\ge 8bc+8b+8c$

Theo $AM-GM$ :

$$3b^2{c}^2+3\ge 6bc$$

Nên ta đi chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn :

$$6bc+5b^2+5c^2+8\ge 8bc+8b+8c\iff 5(b^2+c^2)+8\ge 2bc+8b+8c(\ast )$$

Thật vậy,

$$b^2+c^2\ge 2bc$$

$$(b-1{)}^2+(c-1{)}^2\iff 4(b^2+c^2)+8\ge 8b+8c$$

Cộng vế hai BĐT trên thì ta có $(\ast )$.

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.