Bài toán : Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT : $\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\dfrac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$ Lời giải : Ta có thể viết bất đẳng thức đã cho thành : \[\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\dfrac{a_{2}+a_{3}}{2\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+...+\dfrac{a_{n}+a_{1}}{2\sqrt[n]{a_{1}a_{2}..a_{n}}}+\dfrac{2^{n}a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n}+a_{1})}\geq n+1\] Khi đó áp dụng BĐT $AM-GM$ cho vế trái : \[VT\geq (n+1)\sqrt[n+1]{\dfrac{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n}+a_{1}).2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n}.\sqrt[n]{(a_{1}a_{2}...a_{n})^{n}}.(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n}+a_{1})}}=n+1\] Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bài toán [Sử dụng BĐT AM-GM]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho các số dương $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ , chứng minh BĐT : $\frac{a _{1} + a _{2} + ... + a _{n}}{n a _{1} a _{2} ... a _{n}} + \frac{2 ^{n} . a _{1} a _{2} ... a _{n}}{( a _{1} + a _{2} ) ( a _{2} + a _{3} ) ... ( a _{n - 1} + a _{n} ) ( a _{n} + a _{1} )} \geq n + 1$

Lời giải :

Ta có thể viết bất đẳng thức đã cho thành :

$\frac{a _{1} + a _{2}}{2 n a _{1} a _{2} ... a _{n}} + \frac{a _{2} + a _{3}}{2 n a _{1} a _{2} ... a _{n}} + ... + \frac{a _{n} + a _{1}}{2 n a _{1} a _{2} .. a _{n}} + \frac{2 ^{n} a _{1} a _{2} ... a _{n}}{( a _{1} + a _{2} ) ( a _{2} + a _{3} ) ... ( a _{n} + a _{1} )} \geq n + 1$

Khi đó áp dụng BĐT $A M - GM$ cho vế trái :

$V T \geq (n + 1) n + 1 \frac{( a _{1} + a _{2} ) ( a _{2} + a _{3} ) ... ( a _{n} + a _{1} ) . 2 ^{n} . a _{1} a _{2} ... a _{n}}{2 ^{n} . n ( a _{1} a _{2} ... a _{n} ) ^{n} . ( a _{1} + a _{2} ) ( a _{2} + a _{3} ) ... ( a _{n} + a _{1} )} = n + 1$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1} = a_{2} = ... = a_{n}$

Mô tả

Bài toán : Cho các số dương , chứng minh BĐT : Lời giải : Ta có thể viết bất đẳng thức đã cho thành : Khi đó áp dụng BĐT cho vế trái : Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi

Bất đẳng thứcBĐT cổ điểnBất đẳng thức AM-GM

Nguồn: julielltv