Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (Đình Huy) : Giải phương trình nghiệm nguyên $x_1^5+(x_1+x_2{)}^5+(x_1+x_2+...+x_{2014}{)}^5=2014x_1+2013x_2+...+2x_{2013}+x_{2014}+2012^{2013}$

Lời giải :

Đặt $S_n=x_1+x_2+...+x_n$

Khi đó dễ thấy phương trình được viết lại thành :$\left(S_1^5-S_1\right)+\left(S_2^5-S_2\right)+....+(S_{2014}^5-S_{2014})=2012^{2013}$

Áp dụng một tính chất quen thuộc $30|\left(a^5-a\right)\left(a\in \mathbb{Z}\right)$

Ta thấy $30|VT$ mà $30\nmid VP$

Kết luận : Phương trình không có nghiệm nguyên.