Number Theory 33

(Gabriel Dospinescu)
[Bài toán]: CMR $2^{3^n}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố dạng $8k+3$
                                                      Lời giải
Nhận xét (Tương tự bài Vietnam TST 2004): $2^n+1$ không có ước nguyên tố dạng $8k-3,8k-1$
Xét $n$ chẵn: Ta có $2^n\equiv -1(\mathrm{mod}p)\Rightarrow \left(\frac{-1}{p}\right)=1\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{mod}4)\Rightarrow p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ (mâu thuẫn)
Xét $n$ lẻ. Ta có: $2^{n+1}\equiv -2(\mathrm{mod}p)\Rightarrow \left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)=1$
$(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=1$. Mặt khác: $p\equiv 5;7(\mathrm{mod}8)\Rightarrow (-1{)}^{\frac{p-1}{2}}.(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=-1$ (mâu thuẫn) $\to Q.E.D$
Từ nhận xét trên, do đó mọi ước ước nuyên tố của $2^{3^n}+1$ đều có dạng $8k+1,8k+3$
Ta có: $2^{3^n}+1=(2+1)(2^2-2+1)(2^{2.3}-2^3+1)...(2^{2.3^{n-1}}-2^{3^{n-1}}+1)$
Đặt $S_i=2^{2.3^i}-2^{3^i}+1\forall i=\overline{1,n-1}$
Ta có: $S_i\equiv 1-(-1)+1\equiv 3(\mathrm{mod}9)\Rightarrow 3||S_i\forall i=\overline{1,n-1}(1)$
Gọi $p|\gcd (S_i,S_j)\forall i,j=\overline{1,n-1}$. Ta có: $p|S_i|2^{3^{i+1}}+1$
Ta có: $2^{3^j}=(2^{3^{i+1}}{)}^{3^{j-i-1}}\equiv (-1{)}^{3^{j-i-1}}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$
$\Rightarrow 0\equiv S_j\equiv 2^{2.3^j}-2^{3^j}+1\equiv 1+1+1\equiv 3(\mathrm{mod}p)\Rightarrow p=3(2)$
Từ $(1),(2)\Rightarrow \gcd (S_i,S_j)=3\forall i,j=\overline{1,n-1}$
Nếu mọi ước nguyên tố của $S_i$ (trừ $3$) đều có dạng $8k+1\Rightarrow S_i\equiv 3(\mathrm{mod}8)$ (vô lí)
Do đó $S_i$ có ước nguyên tố dạng $8k+3$ mà $p_i\ne 3$ do $\gcd (S_i,S_j)=3$
$\Rightarrow p_i\ne p_i\forall i,j=\overline{1,n-1}$
Vậy  $2^{3^n}+1$ có ít nhất $n$ ước nguyên tố dạng $8k+3$ là $3,p_1,p_2,...,P_{n-1}$ $■$