Bài toán [Chứng minh BĐT bằng phương pháp S-S]

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}$$\ge \frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$

Lời giải : (Phương pháp S-S)

Viết BĐT đã cho thành :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1$$\ge \frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\right)$

Sử dụng các đẳng thức :

$$\bullet \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1=\frac{(a-b{)}^2+(a-c)(b-c)}{ab+bc+ca}$$

$\bullet \sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}$$=\frac{(a-b{)}^2}{(a+c)(b+c)}+\frac{a+b+2c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.(a-c)(b-c)$

BĐT cần chứng minh trở thành :

$\left[\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{8}{9(a+c)(b+c)}\right](a-b{)}^2+\left[\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{4}{9}.\frac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right](a-c)(b-c)$$\ge 0$$\iff M.(a-b{)}^2+N.(a-c)(b-c)$$\ge 0$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $M\ge 0,N\ge 0$

Thật vậy,

$\bullet M$$=\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{8}{9(a+c)(b+c)}$$>\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{(a+c)(b+c)}$$=\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{ab+bc+ca+c^2}$$>0$

$\bullet$ Để chứng minh $N\ge 0$, ta đi chứng minh $\frac{1}{ab+bc+ca}\ge \frac{4}{9}.\frac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\iff ab+bc+ca\le \frac{9}{4}.\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{a+b+2c}\iff \frac{(ab+bc+ca)(a+b+2c)}{2}\le \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)(\ast )$

Mặt khác thì ta có BĐT quen thuộc sau : $(a+b+c)(ab+bc+ca)\le \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$

Do vậy để chứng minh $(\ast )$, ta lại đi chứng minh $\frac{(a+b+2c)(ab+bc+ca)}{2}\le (a+b+c)(ab+bc+ca)\le \iff a+b+2c\le 2(a+b+c)\iff 0\le a+b$.

Điều này luôn đúng. Như vậy ta có $(\ast )$.

Do đó ta đã chứng minh xong $M,N\ge 0$. Bây giờ chỉ cần giả sử $c=min\left\{a;b;c\right\}$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$