Bài toán : Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^{n+1}+(n+1)^{n}$ chia hết cho $5$ Lời giải : Đặt $A=n^{n+1}+(n+1)^{n}$ $\blacksquare$ Trường hợp 1 : Nếu $n=5k\qquad(k\in \mathbb{N})$ Khi đó $5|n^{n+1}$ và $5\nmid(n+1)^{n}\Rightarrow 5\nmid A$ $\blacksquare$ Trường hợp 2 : Nếu $n=5k+1\qquad(k\in \mathbb{N})$ Ta có $A\equiv 1+2^{n}=1+2^{5k+1}\equiv 1+2^{k+1}(mod5)\Rightarrow 2^{k+1}\equiv 4(mod5)\Rightarrow 2^{k}\equiv 2(mod5)\Rightarrow k=4t+1\qquad(t\in \mathbb{N})\Rightarrow n=5k+1=20t+6$ $\blacksquare$ Trường hợp 3 : Nếu $n=5k+2\qquad(k\in \mathbb{N})$ Ta có $A\equiv 2^{n+1}+3^{n}\equiv 2^{5k+3}+3^{5k+2}\equiv 2^{k+3}+3^{k+2}(mod5)$ Đặt $k=4t+r\qquad(t\in \mathbb{N},r\in \left \{ 0;1;2;3 \right \})$ Vì $5|A$ nên $2^{4t+r+3}+3^{4t+r+2}\equiv 0(mod5)\Rightarrow 2^{r+3}+3^{r+2}\equiv 0(mod5)$ Lần lượt thử $r$ từ $0$ đến $3$ thì đều không tìm được $r$ thỏa mãn Trường hợp này không xảy ra $\blacksquare$ Trường hợp 4 : Nếu $n=5k+3\qquad(k\in \mathbb{N})$ Ta có $A\equiv 3^{n+1}+4^{n}\equiv 3^{5k+4}+4^{5k+3}\equiv 3^{k+4}+4^{k+3}(mod5)$ Đặt $k=4t+r\qquad(t\in \mathbb{N},r\in \left \{ 0;1;2;3 \right \})$ Vì $5|A$ nên $3^{4t+r+4}+4^{4t+r+3}\equiv 0(mod5)\Rightarrow 3^{r+4}+4^{r+3}\equiv 0(mod5)$ \[\Rightarrow r=0\Rightarrow k=4t\Rightarrow n=5k+3=20t+3\] $\blacksquare$ Trường hợp 5 :Nếu $n=5k+4\qquad(k\in \mathbb{N})$ Thì $5\nmid n^{n+1}$ và $5|(n+1)^{n}\Rightarrow 5\nmid A$ Kết luận : $\boxed{n\in \left \{ 20t+3;20t+6 \right \}}$ với $t\in \mathbb{N}$

Bài toán [Chia hết]

Bài toán : Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để $n^{n + 1} + (n + 1)^{n}$ chia hết cho $5$

Lời giải :

Đặt $A = n^{n + 1} + (n + 1)^{n}$

$■$ Trường hợp 1 : Nếu $n = 5 k (k \in N)$

Khi đó $5∣ n^{n + 1}$ và $5 ∤ (n + 1)^{n} \Rightarrow 5 ∤ A$

$■$ Trường hợp 2 : Nếu $n = 5 k + 1 (k \in N)$

Ta có $A \equiv 1 + 2^{n} = 1 + 2^{5 k + 1} \equiv 1 + 2^{k + 1} (m o d 5) \Rightarrow 2^{k + 1} \equiv 4 (m o d 5) \Rightarrow 2^{k} \equiv 2 (m o d 5) \Rightarrow k = 4 t + 1 (t \in N) \Rightarrow n = 5 k + 1 = 20 t + 6$

$■$ Trường hợp 3 : Nếu $n = 5 k + 2 (k \in N)$

Ta có $A \equiv 2^{n + 1} + 3^{n} \equiv 2^{5 k + 3} + 3^{5 k + 2} \equiv 2^{k + 3} + 3^{k + 2} (m o d 5)$

Đặt $k = 4 t + r (t \in N, r \in {0; 1; 2; 3})$

Vì $5∣ A$ nên $2^{4 t + r + 3} + 3^{4 t + r + 2} \equiv 0 (m o d 5) \Rightarrow 2^{r + 3} + 3^{r + 2} \equiv 0 (m o d 5)$

Lần lượt thử $r$ từ $0$ đến $3$ thì đều không tìm được $r$ thỏa mãn

Trường hợp này không xảy ra

$■$ Trường hợp 4 : Nếu $n = 5 k + 3 (k \in N)$

Ta có $A \equiv 3^{n + 1} + 4^{n} \equiv 3^{5 k + 4} + 4^{5 k + 3} \equiv 3^{k + 4} + 4^{k + 3} (m o d 5)$

Đặt $k = 4 t + r (t \in N, r \in {0; 1; 2; 3})$

Vì $5∣ A$ nên $3^{4 t + r + 4} + 4^{4 t + r + 3} \equiv 0 (m o d 5) \Rightarrow 3^{r + 4} + 4^{r + 3} \equiv 0 (m o d 5)$

$\Rightarrow r = 0 \Rightarrow k = 4 t \Rightarrow n = 5 k + 3 = 20 t + 3$

$■$ Trường hợp 5 :Nếu $n = 5 k + 4 (k \in N)$

Thì $5 ∤ n^{n + 1}$ và $5∣ (n + 1)^{n} \Rightarrow 5 ∤ A$

Kết luận : $n \in {20 t + 3; 20 t + 6}$ với $t \in N$

Bài toán [Chia hết]

Đề bài

Mô tả