Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (THTT số 422) : Giải phương trình nghiệm nguyên 

$$2^a+8b^2-3^c=283$$

Lời giải :

$■$ Trường hợp 1 : Nếu $\{\begin{array}{ccc}a<0& & \\ c>0& & \end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{ccc}a>0& & \\ c<0& & \end{array}$ thì một vế nguyên, một vế không nguyên (loại)

$■$ Trường hợp 2 : Nếu $a,c<0$ :

$$\frac{1}{2^{|a|}}+8b^2-\frac{1}{3^{|c|}}=283$$

Điều này tương đương với :

$$\frac{3^{|c|}}{2^{|a|}}+8b^2.3^{|c|}-1=283.3^{|c|}$$

Mâu thuẫn.

$■$ Trường hợp 3 : Nếu $a,c\ge 0$ :

Ta viết phương trình thành :

$$2^a+8b^2=283+3^c$$

Ta có $283\equiv 3(mod8)$ $\Rightarrow 2^a+8b^2\equiv 4;6(mod8)\Rightarrow 2^a\equiv 4;6(mod8)\Rightarrow a=2$

Ta được :

$$8b^2=279+3^c$$

Nếu $c=0;1$ thì $b$ tìm được không nguyên

Nếu $c=2$ thì tìm được $b=6$ hoặc $b=-6$

Nếu $c>2$ thì $3|279+3^c\Rightarrow 3|8b^2\Rightarrow 3|b\Rightarrow b=3t$

Thay vào phương trình :

$$8.9t^2=279+3^c\Rightarrow 8t^2=31+3^{c-2}$$

Mà $8t^2\equiv 0;2(mod3)$ còn $31+3^{c-2}\equiv 1(mod3)$. Trường hợp này loại

Kết luận : $\boxed{(x;y)=(2;6;2);(2;-6;2)}$