Bài toán [Số nguyên tố, Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Tìm bảy số nguyên tố sao cho tổng các lũy thừa bậc 6 của chúng bằng tích của chúng.

Lời giải :

Gọi bảy số nguyên tố cần tìm là $p_1,p_2,...,p_7$.

Theo đề bài ta có $p_1^6+p_2^6+...+p_7^6=p_1{p}_2...p_7$

Gỉa sử tất cả các số nguyên tố $p_1,p_2,...,p_7$ đều không chia hết cho $7$.

Theo định lí $Fermat$ nhỏ ta có $p_i^6\equiv 1(mod7)\Rightarrow {\sum }_{i=1}^7{p}_i^6\equiv 0(mod7)\Rightarrow p_1{p}_2...p_7\equiv 0(mod7)$

Điều này là vô lí vì $7\nmid p_i$

Do đó ít nhất một trong các số nguyên tố $p_1,p_2,...,p_7$ chia hết cho $7$, giả sử $7|p_7\Rightarrow p_7=7$

Khi đó ta lại có $p_1^6+...+p_6^6+7^6=7p_1{p}_2...p_6$

Lại giả sử $p_1,p_2,...,p_6$ đều không chia hết cho $7$.

$$\Rightarrow p_i^6\equiv 1(mod7)\Rightarrow \sum _{i=1}^6{p}_i^6\equiv 6(mod7)$$

Điều này là vô lí vì ${\sum }_{i=1}^6{p}_i^6=7p_1{p}_2...p_6-7^6\equiv 0(mod7)$

Suy ra ít nhất một trong các số $p_1,p_2,...,p_6$ phải chia hết cho $7$. Gỉa sử $7|p_6\Rightarrow p_6=7$

Tiếp tục như vậy, cuối cùng ta có $p_i=7$

Kết luận : $\boxed{p_1=p_2=...=p_7=7}$