Bài toán [Số lập phương,Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (JBMO Shortlist 2001) : Tìm các số nguyên dương $n$ không phải là bội số của $3$ sao cho $2^{n^2-10}+2133$ là một lập phương của số nguyên dương.

Lời giải :

$3\nmid n$$\Rightarrow n^2$$\equiv 1(mod3)$$\Rightarrow n^2-10$$\equiv 0(mod3)$$\Rightarrow n^2-10$$=3k(k\in \mathbb{N})$

Đặt $2^{n^2-10}+2133=t^3(t\in {\mathbb{Z}}^{+})\iff (2^k{)}^3+2133=t^3\iff (t-2^k)(t^2+t.2^k+2^{2k})=2133$

Do $0<t-2^k<t^2+t.2^k+2^{2k}$

Nên xét các trường hợp :

$$▼\{\begin{array}{ccc}t-2^k=1& (1)& \\ t^2+t.2^k+2^{2k}=2133& (2)& \end{array}$$

Thay $(1)$ : $t=2^k+1$ vào $(2)$ thì được :

$$3.2^{2k}+2^{k+1}+2^k=2132\iff 2^k(3.2^k+3)=2132$$

Ta thấy $3|VT,3\nmid VP$ (loại)

$$▼\{\begin{array}{ccc}t-2^k=3& (3)& \\ t^2+t.2^k+2^{2k}=711& (4)& \end{array}$$

Thay $(3)$ : $t=2^k+3$ vào $(4)$ thì được :

$$3.2^{2k}+3.2^{k+1}+3.2^k=702\iff 2^k(3.2^k+9)=2.531\Rightarrow k=1$$

Thử lại không thỏa mãn.

$$▼\{\begin{array}{ccc}t-2^k=9& (5)& \\ t^2+t.2^k+2^{2k}=237& (6)& \end{array}$$

Thay $(5)$ : $t=2^k+9$ vào $(6)$ : $3.2^{2k}+9.2^{k+1}+9.2^k=156\iff 2^k\left(3.2^k+27\right)=2^2.39\Rightarrow k=1;2$.

Thử lại thấy $k=2$ thỏa mãn, khi đó $n=4$

$$▼\{\begin{array}{ccc}t-2^k=27& (7)& \\ t^2+t.2^k+2^{2k}=79& (8)& \end{array}$$

Thay $(7)$ : $t=2^k+27$ vào $(8)$ : $3.2^{2k}+27.2^{k+1}+27.2^k=-650$ (loại)

Kết luận : $\boxed{n=4}$