Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^x=y^4+4y+1$

Lời giải : 

Ta sẽ lập luận rằng $x$ chỉ có thể chẵn từ đó vế trái là một số chính phương, khi đó ta sẽ dùng phương pháp kẹp để giải quyết bài toán.

Gỉa sử $x$ lẻ, khi đó $5^x\equiv 2(mod3)\Rightarrow y^4+4y\equiv 1(mod3)$

Nhận xét rằng $y^4\equiv 0;1(mod3)$

• Nếu $y^4\equiv 0(mod3)\Rightarrow 4y\equiv 1(mod3)\Rightarrow y\equiv 1(mod3)\Rightarrow y^4\equiv 1(mod3)$. Mâu thuẫn
• Nếu $y^4\equiv 1(mod3)\Rightarrow 4y\equiv 0(mod3)\Rightarrow y\equiv 0(mod3)\Rightarrow y^4\equiv 0(mod3)$. Mâu thuẫn

Suy ra $x$ phải chẵn, đặt $x=2k$ với $k$ là số tự nhiên, ta được : $(5^k{)}^2=y^4+4y+1$

Dễ thấy $4y+1<4y^2+4$

Khi đó : $y^4<y^4+4y+1<y^4+4y^2+4=(y^2+2{)}^2\Rightarrow y^4+4y+1=(y^2+1{)}^2\Rightarrow 2y(y-2)=0\Rightarrow y=2;0$

Kết luận: $\boxed{(x;y)=(0;0);(2;2)}$