Bài toán [Số lũy thừa, Nguyên lí cực hạn]

Bài toán : Cho các số nguyên dương $x,y,A$ thỏa mãn hệ thức $A=\frac{x^2+y^2+30}{xy}$ . Chứng minh rằng $A$ là lũy thừa bậc năm của một số nguyên.

Lời giải :

Gọi $\left(x_0;y_0\right)$ là cặp số thỏa mãn đề bài và có tổng $x_0+y_0$ nhỏ nhất. Ta giả sử $x_0\le y_0$.

Xét phương trình bậc hai ẩn $y$ :

$$y^2-A.x_0.y+x_0^2+30=0(\ast )$$

Vì $\left(x_0;y_0\right)$ thỏa mãn đề bài nên $y_0$ là một nghiệm của phương trình $(\ast )$. Gọi nghiệm còn lại là $y_1$. Theo định lí $Viete$ :

$$\{\begin{array}{ccc}{y}_0+y_1=A{x}_0& (1)& \\ y_0{y}_1=x_0^2+30& (2)& \end{array}$$

Ta có $x_0,y_0,A\in \mathbb{Z}$ nên từ $(1)$ suy ra $y_1\in \mathbb{Z}$.

Các cặp $\left(x_0;y_0\right);\left(x_0;y_1\right)$ đều thỏa mãn $(\ast )$ mà $x_0+y_0$ nhỏ nhất nên :

$$x_0+y_0\le x_0+y_1\iff y_0\le y_1$$.

Như vậy $x_0\le y_0\le y_1$

• Trường hợp 1 :  $x_0=y_0$ thay vào $A$ thì $A=2+\frac{30}{x_0^2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x_0=1\Rightarrow A=32$
• Trường hợp 2 : $y_0=y_1$ thì từ $(2)$ ta được :

$$x_0^2+30=y_0^2\iff \left(y_0+x_0\right)\left(y_0-x_0\right)=30$$

Dễ thấy $y_0+x_0;y_0-x_0$ cùng tính chẵn lẻ mà $30=1.30=2.15=5.6=3.10$

Trường hợp này không xảy ra

• Trường hợp 3 : $x_0<y_0<y_1$

Suy ra $\{\begin{array}{ccc}{y}_0\ge x_0+1& & \\ y_1\ge x_0+2& & \end{array}$

Do đó từ $(2)$ suy ra $x_0^2+30\ge \left(x_0+1\right)\left(x_0+2\right)\iff x_0\le 9$

Khi $x_0=9$ thì từ $(2)$ suy ra $y_0{y}_1=9^2+30=111$, vì $y_0<y_1\Rightarrow \left(y_0;y_1\right)=(1;111);(3;37)$. Vô lí vì phải có $x_0<y_0$.

Tương tự khi xét $x=1;2;3;4;5;6;7;8$. Tất cả đều dẫn đến vô lí. Trường hợp này loại.

Do đó ta luôn có $A=32=2^5$ là lũy thừa bậc năm của một số nguyên. Đây là điều phải chứng minh.