Bài toán [Số nguyên tố]

Bài toán : Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác $0$ và $a\ne c$ sao cho $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$. Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2$ không phải là một số nguyên tố. 

Lời giải :

Từ giả thiết $\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+a^2}\Rightarrow a{c}^2+a{b}^2=a^{2}c+b^{2}c\Rightarrow (ac-b^2)(c-a)=0$

Vì $a\ne c$ nên phải có $ac=b^2$

$▼$ Trường hợp 1 : Nếu $gcd(a,c)=d>1(d\in \mathbb{N})$

Đặt $\{\begin{array}{ccc}a=dx& & \\ c=dy& & \end{array}(x,y\in \mathbb{Z},gcd(x,y)=1)$

Do đó $a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=d^2(x^2+xy+y^2)$

Dễ thấy $d^2>1$ và $d^2$ không thể là một số nguyên tố.

Do đó trường hợp này ta có $a^2+b^2+c^2$ là hợp số

$▼$ Trường hợp 2 : Nếu $gcd(a,c)=1$ thì vì $ac=b^2\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}a=m^2& & \\ c=n^2& & \end{array}\vee \{\begin{array}{ccc}a=-m^2& & \\ c=-n^2& & \end{array}\left(m,n\in \mathbb{Z}\right)$

Trong cả hai trường hợp ta đều có :

$$a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=m^4+m^2{n}^2+n^4=(m^2+n^2-mn)(m^2+n^2+mn)$$

Mặt khác dễ thấy $m^2+mn+n^2>m^2-mn+n^2>1$ nên trường hợp này ta cũng có $a^2+b^2+c^2$ là hợp số

Vậy : $a^2+b^2+c^2$ không là số nguyên tố.