Bài toán [Số chính phương, Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (Đình Huy) : Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ lẻ sao cho $n^{11}+199$ là một số chính phương

Lời giải :

Ta sử dụng hai bổ đề quen thuộc :

Bổ đề 1: Cho các số nguyên dương $x,y$ và số nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$ thỏa mãn $p|(x^2+y^2)$. Khi đó $p|x$ và $p|y$

Bổ đề 2 : Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa $gcd(x,y)=1$, khi đó mọi ước nguyên tố của $x^2+y^2$ không có dạng $4k+3$.

Đặt $n^{11}+199=m^2$ , $m\in \mathbb{N}$

Vì $n$ lẻ nên $n\equiv 1;3(mod4)$

Nếu $n\equiv 3(mod4)\Rightarrow m^2\equiv 3^{11}+199\equiv 2(mod4)$ (vô lí)

Do đó $n\equiv 1(mod4)$

Ta có :

$n^{11}+199$$=m^2$$\iff n^{11}+2^{11}$$=m^2+43^2$$\iff (n+2)(n^{10}-2n^9+...-512n+1024)$$=m^2+43^2$$\iff (n+2).b$$=m^2+43^2(\ast )$

Vì $n\equiv 1(mod4)\Rightarrow b=n^{10}-n^9.2+...-n.2^9+2^{10}\equiv 3(mod4)\Rightarrow$ $b$ có ít nhất một ước nguyên tố  $p\equiv 3(mod4)$.

Theo bổ đề 1 thì $b|(a^2+43^2)\Rightarrow p|(a^2+43^2)\Rightarrow p|43\Rightarrow p=43\Rightarrow 43|b$

Nếu $43|(n+2)\Rightarrow n\equiv -2(mod43)\Rightarrow b=n^{10}-2n^9+4n^8-8n^7+16n^6-32n^5+64n^4-128n^3+256n^2-512n+1024\equiv 8(mod43)$.

Điều này là vô lí vì $43|b$. Suy ra $43\nmid (n+2)$.

Ta có $a^2+43^2=(n+2).b⋮43\Rightarrow a⋮43\Rightarrow (a^2+43^2)⋮43^2\Rightarrow b(n+2)⋮43^2$. Vì $43\nmid (n+2)$ nên $b=43^2.m(m\in \mathbb{N},gcd(m,2)=1)$

Hơn nữa vì $a⋮43\Rightarrow a=43q(q\in \mathbb{N})$

Do đó $(n+2).b=a^2+43^2=43^2.(q^2+1)\iff (n+2).43^2.m=43^2(q^2+1)\iff q^2+1=m(n+2)$

Vì $gcd(1,q)=1$ nện theo bổ đề 2 thì $q^2+1$ không có ước nguyên tố nào có dạng $4k+3$, nhưng $n+2\equiv 3(mod4)$  (vì $n\equiv 1(mod4)$)

Điều này mâu thuẫn.

Kết luận : Không tồn tại số $n$ thỏa mãn đề bài.