Bài toán : Cho các số dương $a,b$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \[P=\dfrac{a}{1+2b^{3}}+\dfrac{b}{1+2c^{3}}+\dfrac{c}{1+2a^{3}}\] Lời giải : Ta sẽ sử dụng kĩ thuật $AM-GM$ ngược dấu để giải quyết bài toán. Ta có : $\dfrac{a}{1+2b^{3}}=\dfrac{a(1+2b^{3})-2ab^{3}}{1+2b^{3}}=a-\dfrac{2ab^{3}}{b^{3}+b^{3}+1}\geq a-\dfrac{2ab^{3}}{3b^{2}}=a-\dfrac{2ab}{3}$ Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được : \[P\geq (a+b+c)-\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}-\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)=1\] Kết luận : $MinP=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài toán [Kĩ thuật AM-GM ngược dấu]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho các số dương $a, b$ thỏa mãn $ab + b c + c a = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P = \frac{a}{1 + 2 b ^{3}} + \frac{b}{1 + 2 c ^{3}} + \frac{c}{1 + 2 a ^{3}}$

Lời giải :

Ta sẽ sử dụng kĩ thuật $A M - GM$ ngược dấu để giải quyết bài toán.

Ta có : $\frac{a}{1 + 2 b ^{3}} = \frac{a ( 1 + 2 b ^{3} ) - 2 a b ^{3}}{1 + 2 b ^{3}} = a - \frac{2 a b ^{3}}{b ^{3} + b ^{3} + 1} \geq a - \frac{2 a b ^{3}}{3 b ^{2}} = a - \frac{2 ab}{3}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được :

$P \geq (a + b + c) - \frac{2}{3} (ab + b c + c a) \geq 3 (ab + b c + c a) - \frac{2}{3} (ab + b c + c a) = 1$

Kết luận : $M in P = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Mô tả

Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải : Ta sẽ sử dụng kĩ thuật ngược dấu để giải quyết bài toán. Ta có : Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được : […]

Bất đẳng thứcAM-GM ngược dấu

Nguồn: julielltv