Bài toán [Bất đẳng thức]

Bài toán (THTT số 241) : Cho ba số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^2+y^2+z^2$

Lời giải :

Áp dụng BĐT $Holder$:

$\underset{998}{\underbrace{(1+1+1)(1+1+1)...(1+1+1)}}(x^{1998}+y^{1998}+z^{1998})$$\ge {\left(\sqrt[999]{x^{1998}}+\sqrt[999]{y^{1998}}+\sqrt[999]{z^{1998}}\right)}^{999}$$=(x^2+y^2+z^2{)}^{999}$$\iff 3^{998}.(x^{1998}+y^{1998}+z^{1998})$$\ge F^{999}(1)$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x\ge y\ge z\ge 0$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ :

$(x+y+z)(x^{1997}+y^{1997}+z^{1997})$$\ge 3(x^{1998}+y^{1998}+z^{1998})$$\Rightarrow x^{1998}+y^{1998}+z^{1998}$$\le x+y+z$$\le \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$$=\sqrt{3F}(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra :

$F^{999}$$\le 3^{998}.\sqrt{3F}$$\iff F^{1998}$$\le 3^{1996}.3F$$\iff F^{1997}$$\le 3^{1997}$$\iff F$$\le 3$

Vậy : $MaxF=3\iff x=y=z=1$