Bài toán [Nguyên lí Dirichlet trong chứng minh BĐT]

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$abc+\sqrt[3]{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}\ge ab+bc+ca$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT $Holder$ :

$(1+a^3)(1+b^3)(c^3+1)$$\ge (c+ab{)}^3$$\Rightarrow \sqrt[3]{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}$$\ge ab+c$

Do đó ta chỉ cần chứng minh :

$abc+ab+c$$\ge ab+bc+ca$$\iff abc+c$$\ge bc+ca$$\iff ab+1$$\ge a+b$$\iff (a-1)(b-1)$$\ge 0$

Theo nguyên lí $Dirichlet$ thì tồn tại hai trong ba số $a-1;b-1;c-1$ có cùng dấu. Gỉa sử $a-1;b-1$ cùng dấu thì ta có : $(a-1)(b-1)\ge 0$

Đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.