Bài toán (Junior Balkan MO 2009) : Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau : $2^{a}3^{b}+9=c^{2}$ Lời giải : Phương trình tương đương : \[(c-3)(c+3)=2^{a}.3^{b}\] Khi $a = 0$ thì $b = 3$, $c = 6$ Khi $b = 0$ thì $a = 4$, tìm được $c = 5$ Khi $a=b=0$ thì $c$ tìm được không nguyên Xét $a,b>0$ : Dễ thấy $c - 3$ và $c + 3$ phải cùng là số chẵn Xét các trường hợp : Trường hợp 1 : $\left\{\begin{matrix} c-3 =2^{m}.3^{b}& & \\ c+3=2^{n}& & \end{matrix}\right.$ Trừ vế : $2^{n}-2^{m}.3^{b}=6$ Vì $b >0$ nên $VT$ không chia hết cho $3$, $VP$ chia hết cho $3$ (loại) Trường hợp 2 : $\left\{\begin{matrix} c-3=2^{m} & & \\ c+3=2^{n}.3^{b}& & \end{matrix}\right.$ Trường hợp này tương tự như trên Trường hợp 3 : $\left\{\begin{matrix} c-3=2^{m}.3^{x} & & \\ c+3=2^{n}.3^{y}& & \end{matrix}\right.$ Trừ vế : $2^{n}.3^{y}-2^{m}.3^{x}=6$ (+) Nếu $m\geq n,x\geq y\Rightarrow 6=2^{n}.3^{y}-2^{m}.3^{x}\leq 0$ (vô lí) (+) Nếu $m\leq n,x\geq y$ thì : $2^{m}.3^{y}(2^{n-m}-3^{x-y})=2.3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=y=1 & & \\ 2^{n-1}-3^{x-1}=1& & \end{matrix}\right.$ Xét riêng phương trình $2^{n-1}=1+3^{x-1}$ Bằng cách xét đồng dư theo mô-đun $3$, ta chỉ ra được $n - 1$ chẵn, từ đó đặt $n - 1 = 2k$ \[2^{2k}=1+3^{x-1}\Leftrightarrow (2^{k}-1)(2^{k}+1)=3^{x-1}\Rightarrow k=1;x=2\Rightarrow n=3;x=2\] Suy ra $a = 4 ; b = 3$, suy ra $c = 21$ (+) Nếu $m\geq n;x\leq y$ Khi đó : $2^{n}.3^{x}(3^{y-x}-2^{m-n})=2.3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n=x=1 & & \\ 3^{y-1}-2^{m-1}=1 & & \end{matrix}\right.$ Xét riêng phương trình $3^{y-1}=2^{m-1}+1$ Phương trình này cho nghiệm $m = y = 2$, suy ra $a = b = 3, c = 15$ Xét $m>2\Rightarrow 4|2^{m-1}$, bằng cách xét đồng dư mô-đun $4$, lại suy được $y -1$ chẵn, đặt $y- 1=2k$ Ta được $3^{2k}=2^{m-1}+1\Leftrightarrow (3^{k}-1)(3^{k}+1)=2^{m-1}\Rightarrow k=1;m=4\Rightarrow y=3;m=4$ Suy ra $a = 5;b = 4$, được $c = 51$ (+) Nếu $m\leq n;x\leq y$ thì : \[2^{m}.3^{x}(2^{n-m}.3^{y-x}-1)=2.3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=x=1 & & \\ 2^{n-1}.3^{y-1}-1=1 & & \end{matrix}\right.\] Xét riêng phương trình $2^{n-1}.3^{y-1}=2\Rightarrow n=2;y=1$ Từ đó $a = 3;b = 2$ được $c = 9$ Kết luận : $\boxed{(a;b;c)=(4;0;5);(4;3;21);(5;4;51);(3;2;9);(3;3;15);(0;3;6)}$

Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (Junior Balkan MO 2009) :

Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau : $2^{a} 3^{b} + 9 = c^{2}$

Lời giải :

Phương trình tương đương :

$(c - 3) (c + 3) = 2^{a} . 3^{b}$

Khi $a = 0$ thì $b = 3$ , $c = 6$

Khi $b = 0$ thì $a = 4$ , tìm được $c = 5$

Khi $a = b = 0$ thì $c$ tìm được không nguyên

Xét $a, b > 0$ :

Dễ thấy $c - 3$ và $c + 3$ phải cùng là số chẵn

Xét các trường hợp :

Trừ vế : $2^{n} - 2^{m} . 3^{b} = 6$

Vì $b > 0$ nên $V T$ không chia hết cho $3$ , $V P$ chia hết cho $3$ (loại)

Trường hợp này tương tự như trên

Trừ vế : $2^{n} . 3^{y} - 2^{m} . 3^{x} = 6$

(+) Nếu $m \geq n, x \geq y \Rightarrow 6 = 2^{n} . 3^{y} - 2^{m} . 3^{x} \leq 0$ (vô lí)

(+) Nếu $m \leq n, x \geq y$ thì : $2^{m} . 3^{y} (2^{n - m} - 3^{x - y}) = 2.3 \Rightarrow {m = y = 1 2^{n - 1} - 3^{x - 1} = 1$

Xét riêng phương trình $2^{n - 1} = 1 + 3^{x - 1}$

Bằng cách xét đồng dư theo mô-đun $3$ , ta chỉ ra được $n - 1$ chẵn, từ đó đặt $n - 1 = 2 k$

$2^{2 k} = 1 + 3^{x - 1} \Leftrightarrow (2^{k} - 1) (2^{k} + 1) = 3^{x - 1} \Rightarrow k = 1; x = 2 \Rightarrow n = 3; x = 2$

Suy ra $a = 4; b = 3$ , suy ra $c = 21$

(+) Nếu $m \geq n; x \leq y$

Khi đó : $2^{n} . 3^{x} (3^{y - x} - 2^{m - n}) = 2.3 \Rightarrow {n = x = 1 3^{y - 1} - 2^{m - 1} = 1$

Xét riêng phương trình $3^{y - 1} = 2^{m - 1} + 1$

Phương trình này cho nghiệm $m = y = 2$ , suy ra $a = b = 3, c = 15$

Xét $m > 2 \Rightarrow 4∣ 2^{m - 1}$ , bằng cách xét đồng dư mô-đun $4$ , lại suy được $y - 1$ chẵn, đặt $y - 1 = 2 k$

Ta được $3^{2 k} = 2^{m - 1} + 1 \Leftrightarrow (3^{k} - 1) (3^{k} + 1) = 2^{m - 1} \Rightarrow k = 1; m = 4 \Rightarrow y = 3; m = 4$

Suy ra $a = 5; b = 4$ , được $c = 51$

(+) Nếu $m \leq n; x \leq y$ thì :

$2^{m} . 3^{x} (2^{n - m} . 3^{y - x} - 1) = 2.3 \Rightarrow {m = x = 1 2^{n - 1} . 3^{y - 1} - 1 = 1$

Xét riêng phương trình $2^{n - 1} . 3^{y - 1} = 2 \Rightarrow n = 2; y = 1$

Từ đó $a = 3; b = 2$ được $c = 9$

Kết luận : $(a; b; c) = (4; 0; 5); (4; 3; 21); (5; 4; 51); (3; 2; 9); (3; 3; 15); (0; 3; 6)$