Bài toán [Tập hợp, Số chính phương]

Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tập hợp $S=\left\{n;n+1;n+2;n+3;n+4;n+5\right\}$ được chia thành hai tập con rời nhau mà tích các phần tử của mỗi tập hợp là bằng nhau.

Lời giải :

Xét tích $A=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$, theo đề bài dễ thấy $A$ phải là một số chính phương.

Nhận xét rằng trong sáu số nguyên dương liên tiếp thì tồn tại nhiều nhất một số chia hết cho $7$.

$\bullet$ Khả năng 1 : Nếu tập $S$ không chứa phần tử nào chia hết cho $7$.

Khi đó ta có $A\equiv \mathrm{1.2.3.4.5.6}\equiv 6(mod7)$

Ta loại khả năng này vì một số chính phương chỉ chia $7$ dư $0,1,2,4$

$\bullet$ Khả năng 2 : Nếu tập $S$ chứa một phần tử chia hết cho $7$.

Khi đó, phân chia tập $S$ thành hai tập con, lấy tích các phần tử của hai tập con đó sẽ có một tích chia hết cho $7$, một tích không chia hết cho $7$. Ta loại khả năng này

Kết luận : Không tồn tại số $n$ thỏa mãn đề bài