Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán :  Cho trước số nguyên dương $k$. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :  $x^2+y^2=2011^{2003^k+1}(10-z)$

Lời giải :

Bổ đề quen thuộc : Nếu $x,y$ nguyên và $p$ nguyên tố có dạng $4k+3$ thỏa $p|x^2+y^2$ thì $p|x$ và $p|y$

Giải :

Dễ thấy $2011$ là số nguyên tố chia $4$ dư $3$ nên theo bổ đề ta có $2011|x$ và $2011|y$

Đặt $x=2011x_1;y=2011y_1$

Thay vào phương trình và thu gọn, ta được :

$$x_1^2+y_1^2=2011^{2003^k-1}(10-z)$$

Do $2003^k+1$ là một số chẵn nên bằng số hữu hạn cách làm tương tự, ta được :

$$x_n^2+y_n^2=10-z$$  $$(1)$$

Với $n=\frac{2003^k+1}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_n\ge y_n$

Từ $(1)$ ta được : $x_n^2,y_n^2<10\Rightarrow x_n,y_n\le 3$

Từ đó dễ tìm được các cặp $(x_n;y_n;z)=(2;2;2);(2;1;5);(1;1;8)$

Lại có $x=2011^n{x}_n;y=2011^n{y}_n$

Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình là :

$$(x;y;z)$$ $$=(2.2011^{\frac{2003^k+1}{2}}$$ ;$$2.2011^{\frac{2003^k+1}{2}};2)$$ ;$$(2.2011^{\frac{2003^k+1}{2}};2011^{\frac{2003^k+1}{2}};5)$$ ;$$(2011^{\frac{2003^k+1}{2}};2011^{\frac{2003^k+1}{2}};8)$$ ; $$(2011^{\frac{2003^k+1}{2}};2.2011^{\frac{2003^k+1}{2}};5)$$