Bài toán [BĐT với phần nguyên]

Bài toán : Cho các số thực $a,b$. Chứng minh rằng : $\left[2a\right]+\left[2b\right]\ge [a]+[b]+[a+b]$

Lời giải :

Bổ đề 1: Ta luôn có $[2x]$ bằng $2[x]$ hoặc $2[x]+1$ với mọi số thực $x$

Chứng minh bổ đề 1 : 

• Nếu $\left\{x\right\}<0,5$

Thì $2x-2[x]=2\left([x]+\left\{x\right\}\right)-2[x]=2\left\{x\right\}<1\Rightarrow 2x<2[x]+1$

Mặt khác hiển nhiên $2[x]\le 2x$

Tức là $2[x]\le 2x<2[x]+1\Rightarrow [2x]=2[x]$

• Nếu $\left\{x\right\}>0,5$

Thì $2x-2[x]=2\left\{x\right\}>1\Rightarrow 2[x]+1<2x$

Mặt khác luôn có $\left\{x\right\}<1\Rightarrow 2x-2[x]=2\left\{x\right\}<2\Rightarrow 2x<2[x]+2$

Tức là $2[x]+1<2x<2[x]+2$

Suy ra $[2x]=2[x]+1$

Bổ đề 2 : Ta luôn có $[x]+[y]\ge [x+y]$ với mọi số thực $x,y$.

Chứng minh bổ đề 2 :

Ta có $0\le \left\{x\right\},\left\{y\right\}<1\Rightarrow 0\le \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<2$

+) Nếu $0\le \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1$

Thì $[x+y]=[x]+[y](=x+y)$

+) Nếu  $1\le \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<2$ thì $0\le \left\{x\right\}+\left\{y\right\}-1<1\Rightarrow 0\le (x+y)-([x]+[y]+1)<1\Rightarrow [x]+[y]+1\le x+y\le [x]+[y]+2\Rightarrow [x+y]=[x]+[y]+1$

Tóm lại là ta luôn có $[x]+[y]\le [x+y]$

TRỞ LẠI BÀI TOÁN : Theo bổ đề 1, các trường hợp có thể xảy ra là :

• Trường hợp 1 : $[2a]=2[a]$ và $[2b]=2[b]$ :

Điều cần chứng minh viết thành :

$[a]+[b]+[a+b]\le 2[a]+2[b]\iff [a+b]\le [a]+[b]$. Luôn đúng theo bổ đề 2

• Trường hợp 2 : $[2a]=2[a];[2b]=2[b]+1$

Điều cần chứng minh viết thành : $2[a]+2[b]+1\ge [a]+[b]+[a+b]\iff [a+b]\le [a]+[b]+1$.

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\le [a+b]$ (bổ đề 2)

• Trường hợp 3 :$[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]$

Tương tự trường hợp 2

• Trường hợp 4 : $[2a]=2[a]+1;[2b]=2[b]+1$

Điều cần chứng minh viết thành : $[a+b]\le [a]+[b]+2$

Hiển nhiên đúng vì đã có $[a]+[b]\le [a+b]$ (bổ đề 2)

Ta có điều phải chứng minh