Bài toán [Hình học vectơ, điểm cố định]

Bài toán : Cho sáu điểm bất kì trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $\omega$ là một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong sáu điểm trên. Ba điểm còn lại là ba đỉnh của tam giác $\psi$. Chứng minh rằng với mọi cách chọn tam giác $\omega$, đường thẳng đi qua hai trọng tâm của hai tam giác $\omega ,\psi$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi $A,B,C$ là ba đỉnh của tam giác $\omega$, $D,E,F$ là ba đỉnh của tam giác $\psi$.

Gọi $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $\omega ,\psi$.

Theo quy tắc trọng tâm, ta có :

$$\{\begin{array}{ccc}\overrightarrow{G_{1}A}+\overrightarrow{G_{1}B}+\overrightarrow{G_{1}C}=\overrightarrow{0}& & \\ \overrightarrow{G_{2}D}+\overrightarrow{G_{2}E}+\overrightarrow{G_{2}F}=\overrightarrow{0}& & \end{array}\Rightarrow \overrightarrow{G_{1}A}+\overrightarrow{G_{1}B}+\overrightarrow{G_{1}C}+\overrightarrow{G_{2}D}+\overrightarrow{G_{2}E}+\overrightarrow{G_{2}F}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{G_{1}G}+3\overrightarrow{G_{2}G}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})=\overrightarrow{0}$$

Chọn $G$ là trọng tâm của hệ sáu điểm $\left\{A;B;C;D;E;F\right\}$ thì :

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}$$=\overrightarrow{0}$

Suy ra $3\overrightarrow{G_{1}G}+3\overrightarrow{G_{2}G}=\overrightarrow{0}\Rightarrow G,G_1,G_2$ thẳng hàng

Hay $G_1{G}_2$ đi qua $G$, dễ thấy điểm $G$ là điểm cố định

Đây là điều phải chứng minh.

Bài toán tương tự : Cho năm điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $\kappa$ là một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong năm điểm đã cho. Hai điểm còn lại tạo thành đoạn thẳng $d$. Chứng minh rằng với mọi cách chọn tam giác $\kappa$ thì đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác $\kappa$ và trung điểm của đoạn thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.