Bài toán (Junior Balkan MO 1998) : Tìm các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa mãn : $x^{y}=y^{x-y}$ Lời giải : Từ phương trình đã cho, ta có : $x=y^{\frac{x-y}{y}}\in \mathbb{Z}\Rightarrow y|(x-y)\Rightarrow y|x$ Đặt $x = ty$ (với $t\in \mathbb{Z}_{+}$) Thay vào phương trình ta được : \[ty=y^{t-1}\Leftrightarrow y^{t-2}=t\] $\bullet$ Nếu $y = 1$ ta được $x = 1$. Thử lại thỏa mãn $\bullet$ Nếu $y\geq 2$ : Xét $t = 1$ thì $x = y$, $x^{y}=y^{x-y}=x^{x-y}\Rightarrow y=x-y\Rightarrow x=2y$ Lại có $x = y$ nên $x = y = 0$ (loại) Xét $t = 2$ thì $x = 2y$ $x^{y}=y^{x-y}=y^{2y-y}=y^{y}\Rightarrow x=y$, mà $x = 2y$ nên $x = y = 0$ (loại) Xét $t = 3$ thì $x = 2y$ \[x^{y}=y^{x-y}=y^{3y-y}=y^{2y}\Rightarrow x=y^{2}\] Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x=y^{2} & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right.$ Được $x = 4 ; y = 2$. Thử lại không thỏa mãn Xét $t = 4$ thì $x = 4y$ \[x^{y}=y^{x-y}=y^{4y-y}=y^{3y}\Rightarrow x=y^{3}\] Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x=4y & & \\ x=y^{3} & & \end{matrix}\right.$ Được $x = 8 ;y=2$. Thử lại thỏa mãn Xét $t\geq 5$ : Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : $2^{t-2}>t$ $(1)$ Thật vậy, với $t = 5$ thì hiển nhiên đúng, giả sử $(1)$ đúng, xét với $t + 1$ : \[2^{t-1}=2^{t-2}.2>2t>t+1\] Như vậy ta có $(1)$, mà $y\geq 2\Rightarrow y^{t-2}>t$ Trường hợp này loại Kết luận : $\boxed{(x;y)=(1;1);(8;2)}$

Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (Junior Balkan MO 1998) : Tìm các số nguyên dương $x$ , $y$ thỏa mãn : $x^{y} = y^{x - y}$

Lời giải :

Từ phương trình đã cho, ta có : $x = y^{\frac{x - y}{y}} \in Z \Rightarrow y ∣ (x - y) \Rightarrow y ∣ x$

Đặt $x = t y$ (với $t \in Z_{+}$ )

Thay vào phương trình ta được :

$t y = y^{t - 1} \Leftrightarrow y^{t - 2} = t$

$∙$ Nếu $y = 1$ ta được $x = 1$ . Thử lại thỏa mãn

$∙$ Nếu $y \geq 2$ :

Xét $t = 1$ thì $x = y$ , $x^{y} = y^{x - y} = x^{x - y} \Rightarrow y = x - y \Rightarrow x = 2 y$

Lại có $x = y$ nên $x = y = 0$ (loại)

$x^{y} = y^{x - y} = y^{2 y - y} = y^{y} \Rightarrow x = y$ , mà $x = 2 y$ nên $x = y = 0$ (loại)

$x^{y} = y^{x - y} = y^{3 y - y} = y^{2 y} \Rightarrow x = y^{2}$

Giải hệ ${x = y^{2} x = 2 y$

Được $x = 4; y = 2$ . Thử lại không thỏa mãn

$x^{y} = y^{x - y} = y^{4 y - y} = y^{3 y} \Rightarrow x = y^{3}$

Giải hệ ${x = 4 y x = y^{3}$

Được $x = 8; y = 2$ . Thử lại thỏa mãn

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : $2^{t - 2} > t$ $(1)$

Thật vậy, với $t = 5$ thì hiển nhiên đúng, giả sử $(1)$ đúng, xét với $t + 1$ :

$2^{t - 1} = 2^{t - 2} .2 > 2 t > t + 1$

Như vậy ta có $(1)$ , mà $y \geq 2 \Rightarrow y^{t - 2} > t$

Trường hợp này loại

Kết luận : $(x; y) = (1; 1); (8; 2)$