Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Số chính phương]

Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+(x+1{)}^2+...+(x+1983{)}^2=y^2$

Lời giải :

Khai triển, ta được :

$$1984x^2+2x(1+2+...+1983)+(1^2+2^2+...+1983^2)=y^2$$ $$(\ast )$$

Mặt khác ta có :

$$1+2+...+1983=\frac{1983.1984}{2}=2^5.61473$$

$$1^2+2^2+...+1983^2=\frac{1983.(1983+1)(2.1983+1)}{6}=2^5.81287797$$

Do đó

$\left(\ast \right)$$\iff 2^5.62x^2+2^6.x.61473+2^5.81287797$$=y^2$$\iff 2^5\left(62x^2+2x.61473+81287797\right)$$=y^2$

Hiển nhiên $62x^2+2.x.61473+81287797$ lẻ nên $2^5\parallel y^2$, điều này vô lí.

Kết luận : Phương trình không có nghiệm nguyên.

Nhận xét : Đề bài có thể thay đổi thành : “Chứng minh rằng tổng bình phương của 1984 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương”