Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3^{x} + 4^{y} = 7^{z}$

Lời giải :

$■$ Trường hợp 1 : Nếu $y \geq 2$ thì : $4^{y} ⋮ 8$

Ta có : $3^{x} + 4^{y} \equiv 1; 3 (m o d 8)$ mà $7^{z} \equiv 1; 7 (m o d 8)$

Do đó $7^{z} = 3^{x} + 4^{y} \equiv 1 (m o d 8) \Rightarrow x, z$ chẵn

Đặt $x = 2 a; y = 2 b$ (với $a, b$ nguyên dương), ta được :

$3^{2 a} + 2^{2 y} = 7^{2 b} \Leftrightarrow (7^{b} - 3^{a}) (7^{b} - 3^{a}) = 2^{2 y}$

Do đó :

${7^{b} - 3^{a} = 2^{m} 7^{b} + 3^{a} = 2^{n}$

Với $m, n$ tự nhiên và $m < n, m + n = 2 y$

Trừ vế với vế : $2. 3^{a} = 2^{n} - 2^{m}$

$\Leftrightarrow 2. 3^{a} = 2^{m} (2^{n - m} - 1) \Rightarrow {m = 1 2^{n - 1} - 1 = 3^{a}$

Xét riêng phương trình $2^{n - 1} - 1 = 3^{a}$ . Bằng cách xét đồng dư mô-đun $3$ , chỉ ra được $n - 1$ chẵn.

Từ đó dễ tìm được $a = 1; n = 3; m = 1$ . Từ đó $y = 1$ (loại vì đang xét $y \geq 2$ )

$■$ Trường hợp 2 : Ta xét $y = 1$

Ta được phương trình : $3^{x} + 4 = 7^{z}$

Dễ thấy khi $z = 1$ thì $x = 1$ , ta xét $z > 1$

$▼$ Trường hợp 2a : Xét $z$ chẵn, thì $7^{z} \equiv 1 (m o d 4) \Rightarrow 3^{x} + 4 \equiv 1 (m o d 4) \Rightarrow x$ chẵn

Đặt $z = 2 m; y = 2 n$ ( $m, n$ nguyên dương), thay vào thì : $(7^{m} - 3^{n}) (7^{m} + 3^{n}) = 4$

Phương trình ước số này không cho nghiệm thỏa mãn

$▼$ Trường hợp 2b : Xét $z$ lẻ thì : $7^{z} \equiv 3 (m o d 4) \Rightarrow 3^{x} + 4 \equiv 3 (m o d 4) \Rightarrow x$ lẻ

Bằng cách đặt $x = 6 k + r$ và xét đồng dư theo mô-đun $7$ ta dễ dàng tìm được $r = 1$ , tức $x = 6 k + 1$

Vì $x$ lẻ nên $3^{x} \equiv 2; 3 (m o d 5) \Rightarrow 7^{z} = 3^{x} + 4 \equiv 1; 2 (m o d 5) (★)$

Vì $z$ lẻ nên đặt $z = 2 z_{1} + 1$ , ta được : $7^{z} = 7^{2 z_{1} + 1} \equiv (- 1)^{z_{1}} .7 \equiv 2; 3 (m o d 5) (⧫)$

Từ $(⧫) (★)$ suy ra :

$(- 1)^{z_{1}} .7 \equiv 2 (m o d 5) \Rightarrow z_{1} ⋮ 2 \Rightarrow z \equiv 1 (m o d 4)$

Ta có $y = 6 k + 1$ nên :

$7^{z} = 3^{x} + 4 = 3^{6 k + 1} + 4 \equiv 7 (m o d 13)$ .

Đặt $z = 12 t + r^{'}$ thì $7^{z} = 7^{12 t + r^{'}} \equiv 7^{r^{'}} \equiv 7 (m o d 13) \Rightarrow r^{'} = 1 \Rightarrow z = 12 t + 1$

Như vậy ta đã chứng minh xong $z = 12 t + 1$ và $x = 6 k + 1$

Từ phương trình đã cho, suy ra :

$7^{z} - 7 = 3^{x} - 3 \Leftrightarrow 7^{12 t + 1} - 7 = 3^{6 k + 1} - 3 \Leftrightarrow 7 (7^{12 t} - 1) = 3 (3^{6 k} - 1)$

Ta thấy $V T \equiv 0 (m o d 9); V P \equiv 6 (m o d 9)$ (loại)

KẾT LUẬN : $(x; y; z) = (1; 1; 1)$

Đề bài