Bài toán [Chia hết, Số nguyên tố]

Bài toán (Đình Huy) : Cho các số nguyên $a,b,c,d$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn hệ thức $\frac{a^p+b^p}{c^p+d^p}=\frac{1}{p-1}$

Chứng minh rằng $a+b+c+d$ chia hết cho $p$.

Lời giải :

Xét biểu thức $A=(a^p+b^p+c^p+d^p)-(a+b+c+d)$

Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có : $p|(a^p-a)\Rightarrow p|A$ $(1)$

Mặt khác từ giả thiết ta có : $c^p+d^p=(p-1)(a^p+b^p)\Rightarrow a^p+b^p+c^p+d^p=(a^p+b^p)+(p-1)(a^p+b^p)=p(a^p+b^p)⋮p(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho $p$.

Đây là điều phải chứng minh.