Bài toán [Đa thức]

Bài toán : Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ đều không có nghiệm hữu tỉ.

Lời giải :

Xét đa thức

$$P(x)=a_{2k}{x}^{2k}+a_{2k-1}{x}^{2k-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$

Trong đó $k$ là số nguyên dương và $a_{2k},a_{2k-1},...,a_2,a_1,a_0$ là các số nguyên lẻ.

Giả sử đa thức trên có nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z},gcd(p,q)=1$

Khi đó :

$a_{2k}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{2k}+a_{2k-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{2k-1}+...+a_1.\frac{p}{q}+a_0$$=0$$\iff a_{2k}.p^{2k}+a_{2k-1}{p}^{2k-1}q+...+a_{1}p.q^{2k-1}+a_0$$=0(\ast )$$\Rightarrow q|a_{2k}.p^{2k}$

Mà $gcd(p,q)=1$ nên $q|a_{2k}$. Tương tự ta có $p|a_0$.

Vì $a_{2k},a_0$ đều lẻ nên $p,q$ cũng đều lẻ

Khi đó vế trái của $(\ast )$ là tổng của $2k+1$ số lẻ nên là số lẻ. Trong khi đó vế phải của $(\ast )$ bằng $0$ là một số chẵn. Mâu thuẫn

Gỉa thiết phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh.