Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán (Hungary 2001) : Tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ sao cho $5x^2-14y^2=11z^2$

Lời giải :

Nhận xét rằng $\forall a\in \mathbb{Z}:a^2\equiv 0;1;2;4(mod7)$

Khi đó $5x^2\equiv 0;5;3;6(mod7)$ và $11z^2\equiv 0;4;1;2(mod7)$

Suy ra $VT\equiv 0;5;3;6(mod7)$ và $VP\equiv 0;4;1;2(mod7)$

Mà $\left\{0;5;3;6\right\}\cap \left\{0;4;1;2\right\}=\left\{0\right\}$ nên ta phải có $5x^2\equiv 11z^2\equiv 0(mod7)\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}7|x& & \\ 7|z& & \end{array}$. Đặt $x=7x_1;z=7z_1(x_1,z_1\in \mathbb{Z})$

Thay vào phương trình ban đầu : $5(7x_1{)}^2-14y^2=11(7z_1{)}^2\iff 35x_1^2-2y^2=77z_1^2(\ast )$

Từ đó lại suy ra $7|y$. Đặt $y=7y_1(y_1\in \mathbb{Z})$

Thay vào $(\ast )$ : $35x_1^2-2(7y_1{)}^2=77z_1^2\iff 5x_1^2-14y_1^2=11z_1^2$

Tiếp tục lập luận như vậy, ta kết luận được nếu $(x;y;z)$ là một nghiệm nguyên của phương trình thì $\left(\frac{x}{7^k};\frac{y}{7^k};\frac{z}{7^k}\right)$ cũng là một nghiệm nguyên của phương trình với mọi số tự nhiên $k$.

Theo nguyên lí lùi vô hạn, phương trình có nghiệm nguyên duy nhất $(0;0;0)$

Kết luận : $\boxed{(x;y;z)=(0;0;0)}$