Định lí Desargues

Định lí Desargues 

 Cho hai tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là giao điểm của $BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $CA$ và $C^{\prime }{A}^{\prime }$, $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy tại một điểm thì ba điểm $A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng.

Chứng minh

Gọi $Q$ là điểm đồng quy của ba đường thẳng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$

Xét tam giác $ACQ$ với ba điểm $B_1,A^{\prime },B^{\prime }$ thẳng hàng lần lượt thuộc các đường thẳng $AC,AQ,CQ$.

Theo định lí $Menelaus$ :

$\frac{A{B}_1}{B_{1}C}.\frac{C^{\prime }C}{C^{\prime }Q}.\frac{A^{\prime }Q}{A^{\prime }A}$$=1$$\Rightarrow \frac{A{B}_1}{B_{1}C}$$=\frac{A^{\prime }A.C^{\prime }Q}{C^{\prime }C.A^{\prime }Q}(1)$

Tương tự $\frac{C{A}_1}{A_{1}B}=\frac{C^{\prime }C.B^{\prime }Q}{B^{\prime }B.C^{\prime }Q}(2)$

Và $\frac{B{C}_1}{C_{1}A}=\frac{B^{\prime }B.A^{\prime }Q}{A^{\prime }A.B^{\prime }Q}(3)$

Nhân $(1)(2)(3)$ vế theo vế, ta được :

$\frac{A{B}_1}{B_{1}C}.\frac{C{A}_1}{A_{1}B}.\frac{B{C}_1}{C_{1}A}$$=\frac{A^{\prime }A.C^{\prime }Q}{C^{\prime }C.A^{\prime }Q}.\frac{C^{\prime }C.B^{\prime }Q}{B^{\prime }B.C^{\prime }Q}.\frac{B^{\prime }B.A^{\prime }Q}{A^{\prime }A.B^{\prime }Q}$$=1$

Theo định lí $Menelaus$, ta có $A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng.

Chú ý :  Định lí này được phát biểu đầy đủ :

 Cho hai tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $A_1,B_1,C_1$ lần lượt là giao điểm của $BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $CA$ và $C^{\prime }{A}^{\prime }$, $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Chứng minh rằng  các đường thẳng $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ đồng quy tại một điểm hoặc đôi một song song khi và chỉ khi ba điểm $A_1,B_1,C_1$ thẳng hàng.