Bài toán : Chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì đa thức $P=\dfrac{x^{p}-1}{x-1}$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$. Lời giải : Đặt $x=y+1$, ta có : \[P=\dfrac{(y+1)^{p}-1}{(y+1)-y}=\dfrac{y^{p}+C_{p}^{1}y^{p-1}+C_{p}^{2}y^{p-2}+...+C_{p}^{p-1}y}{y}=y^{p-1}+C_{p}^{1}y^{p-1}+C_{p}^{2}y^{p-2}+...+C_{p}^{p-2}y+C_{p}^{p-1}\] Ta có : \[\left\{\begin{matrix} 1\nmid p\\ p|C_{p}^{i}\\ p^{2}\nmid C_{p}^{p-1}=p \end{matrix}\right.(i\in \left \{ 1;2;...;p-2 \right \})\] Theo tiêu chuẩn $Eisentein$ đa thức $P$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$. Đây là điều phải chứng minh.

Bài toán [Đa thức bất khả quy]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì đa thức $P = \frac{x ^{p} - 1}{x - 1}$ bất khả quy trên $Q [x]$ .

Lời giải :

Đặt $x = y + 1$ , ta có :

$P = \frac{( y + 1 ) ^{p} - 1}{( y + 1 ) - y} = \frac{y ^{p} + C _{p}^{1} y ^{p - 1} + C _{p}^{2} y ^{p - 2} + ... + C _{p}^{p - 1} y}{y} = y^{p - 1} + C_{p}^{1} y^{p - 1} + C_{p}^{2} y^{p - 2} + ... + C_{p}^{p - 2} y + C_{p}^{p - 1}$

Ta có :

$⎩ ⎨ ⎧ 1 ∤ p p ∣ C_{p}^{i} p^{2} ∤ C_{p}^{p - 1} = p (i \in {1; 2; ...; p - 2})$

Theo tiêu chuẩn $E i se n t e in$ đa thức $P$ bất khả quy trên $Q [x]$ . Đây là điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Chứng minh rằng nếu là một số nguyên tố thì đa thức bất khả quy trên . Lời giải : Đặt , ta có : Ta có : Theo tiêu chuẩn đa thức bất khả quy trên . Đây là điều phải chứng minh.

Đa thứcSố nguyên tố

Nguồn: julielltv