Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên $x^5+y^5+z^5=t^5+5^{2011}$

Lời giải :

Nhận xét rằng $\forall a\in \mathbb{Z}:a^5\equiv 0;1;10(mod11)$

Do đó ta có $VT=x^5+y^5+z^5\equiv 0;1;2;3;8;9;10$

Mặt khác ta có $5^{2011}=(5^{10}{)}^{200}.5\equiv 5(mod11)\Rightarrow VP=t^5+5^{2011}\equiv 4;5;6;$

Mà $\left\{0;1;2;3;8;9;10\right\}\cap \left\{4;5;6\right\}=\text{O}$

Kết luận : phương trình không có nghiệm nguyên