Bài toán [Đa thức]

Bài toán : Cho đa thức $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ $\left(a_n\ne 0\right)$. Đặt $M=max\left|\frac{a_i}{a_n}\right|\forall i=\overline{0,n-1}$. Gọi $x_0$ là một nghiệm của đa thức. Chứng minh rằng $\left|x_0\right|<1+M$

Lời giải :

Vì $x_0$ là một nghiệm của $P(x)$ nên :

$P(x_0)$$=0$$\iff -a_n{x}_0^n$$=a_{n-1}{x}_0^{n-1}+...+a_1{x}_0+a_0$$\Rightarrow -x_0^n$$=\frac{a_{n-1}}{a_n}{x}_0^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}{x}_0+\frac{a_0}{a_n}$$\Rightarrow \left|x_0^n\right|$$=\left|\frac{a_{n-1}}{a_n}{x}_0^{n-1}+...+\frac{a_1}{a_n}{x}_0+\frac{a_0}{a_n}\right|$$\le \left|\frac{a_{n-1}}{a_n}\right|.\left|x_0^{n-1}\right|+...+\left|\frac{a_1}{a_n}\right|.\left|x_0\right|+\left|\frac{a_0}{a_n}\right|$$\le M\left(\left|x_0^{n-1}\right|+|x_0|+...+1\right)$

Nếu $\left|x_0\right|=1$ thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh

Nếu $\left|x_0\right|\ne 1$, ta có :

${\left|x_0\right|}^n$$\le M.\frac{{\left|x_0\right|}^n-1}{\left|x_0\right|-1}$$<M.\frac{{\left|x_0\right|}^n}{\left|x_0\right|-1}$$\Rightarrow \left|x_0\right|$$<1+M$

Đây là điều phải chứng minh.