Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Phần lẻ]

Bài toán : Chứng minh rằng phương trình $\left\{x^2\right\}+\left\{y^2\right\}=\left\{z^2\right\}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$.

Lời giải :

Bổ đề : Phương trình $\left\{x^2\right\}={\left\{x\right\}}^2$ có nghiệm là $0\le x<1$ hoặc $x=n+\frac{m}{2n}$ với $m,n\in \mathbb{Z},mn>0,|m|<|2n|$

Chứng minh :

Phương trình tương đương :

${\left\{\left(\left[x\right]+\left\{x\right\}\right)\right\}}^2$$={\left\{x\right\}}^2$$\iff \left\{{\left[x\right]}^2+{\left\{x\right\}}^2+2\left[x\right]\left\{x\right\}\right\}$$={\left\{x\right\}}^2$$\iff 2\left[x\right]\left\{x\right\}$$=m\in \mathbb{Z}$

Nếu $\left[x\right]=0\Rightarrow 0\le x<1$

Nếu $\left[x\right]=n\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$ thì $2.n.\left\{x\right\}=m\Rightarrow \left\{x\right\}=\frac{m}{2n}(m,n\in \mathbb{Z},mn>0,\left|m\right|<\left|2n\right|)$

Quay trở lại bài toán :

Ta chọn $x=n+\frac{m}{2n},y=n+\frac{p}{2n},z=n+\frac{q}{2n}$

Trong đó $m,n,p,q\in \mathbb{Z}$, $m,n,p,q$ cùng dấu, $|m|,|p|,|q|<|2n|$.

Khi đó theo bổ đề, ta có $\left\{x^2\right\}={\left\{x\right\}}^2,\left\{y^2\right\}={\left\{y\right\}}^2,\left\{z^2\right\}={\left\{z\right\}}^2$

Phương trình được viết lại :

${\left\{x\right\}}^2+{\left\{y\right\}}^2$$={\left\{z\right\}}^2$$\iff {\left(\frac{m}{2n}\right)}^2+{\left(\frac{p}{2n}\right)}^2$$={\left(\frac{q}{2n}\right)}^2$$\iff m^2+p^2$$=q^2$

Đây là phương trình $Pytagore$ nên sẽ có vô số nghiệm nguyên.

Hiển nhiên tồn tại vô hạn các số nguyên $m,n,p,q$ thỏa mãn các điều kiện $(m,p,q)$ là một bộ ba $Pytagore$, $m,n,p,q$ cùng dấu và $|m|,|p|,|q|<|2n|$.

Do đó phương trình đã có vô hạn nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$