[Bài toán] Sự chia hết

Bài toán : (Baltic Mathematics Competition 2002) Cho $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ sao cho ước số nguyên tố của $n^6-1$ cũng là ước số của $(n^3-1)(n^2-1)$. Chứng minh rằng $n=2$.

Lời giải :

Ta có $(n^3-1)(n^2-1)=(n-1{)}^2(n+1)(n^2+n+1)$

• Gọi $d=gcd(n^2-n+1,n-1)\Rightarrow d|n^2-n+1-n(n-1)\Rightarrow d|1\Rightarrow d=1$
• Gọi $e=gcd(n^2-n+1.n^2+n+1)$, dễ thấy $e$ lẻ.

Ta có $e|(n^2-n+1)-(n^2-n+1)\Rightarrow e|2n\Rightarrow e|n\Rightarrow e|(n^2-n+1)-n(n-1)\Rightarrow e|1\Rightarrow e=1$

• Gọi $f=gcd(n^2-n+1,n+1)$, $f$ lẻ.

Ta có $f|n^2-n+1-n(n+1)\Rightarrow f|1-2n\Rightarrow f|(1-2n)+2(n+1)\Rightarrow f|3\Rightarrow f\in \left\{1,3\right\}$ ($f$ lẻ)

+) Nếu $f=3$ ta có $3|n+1\Rightarrow n=3k+2\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}{n}^2-n+1=(3k+2{)}^2-(3k+2)+1=3(3k^2+3k+1)& & \\ n+1=3(k+1)& & \end{array}$

Trong đó $k$ là số tự nhiên

Theo giả thiết mọi ước nguyên tố của $n^6-1$ đều là ước của $(n^3-1)(n^2-1)$, nên mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1$ đều là ước của $(n^3-1)(n^2-1)=(n-1{)}^2.(n+1)(n^2+n+1)$, nhưng $n^2-n+1$ nguyên tố cùng nhau với $n-1$ và $n^2+n+1$ (chứng minh trên) nên mọi ước nguyên tố của $n^2-n+1$ là ước của $n+1$

Suy ra mọi ước nguyên tố của $3k^2+3k+1$ là ước của $3(k+1)$ mà dễ chứng minh được $gcd(3k^2+3k+1,k+1)=1$ nên mọi ước nguyên tố của $3k^2+3k+1$ là ước của $3$. Do vậy nên $3k^2+3k+1=3^x(x\in \mathbb{N})$

Nếu $x\ge 1$ thì $3|3^x$ nhưng $3\nmid 3k^2+3k+1$, mâu thuẫn. Do đó $x=0$, ta được $k=0,n=2$ (thỏa mãn)

+) Nếu $f=1$, ta có $gcd(n^2-n+1,n+1)=1$

Do đó $n^2-n+1$ nguyên tố cùng nhau với mọi ước của $(n^3-1)(n^2-1)$, gọi $p$ là ước nguyên tố của $n^2-n+1$ thì $p\nmid (n^3-1)(n^2-1)(1)$.

Mà $n^2-n+1|n^6-1\Rightarrow p|n^6-1\Rightarrow p|(n^3-1)(n^2-1)$. Mâu thuẫn với $(1)$.

Kết luận : $n=2$