Bài toán : (Russia MO 1997) Cho $m,n$ là hai số nguyên dương sao cho $2^n-1$ chia hết cho $(2^m-1)^2$. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $m(2^m-1)$. Lời giải : Từ giả thiết ta có $2^{m}-1|2^{n}-1\Rightarrow m|n$. Đặt $n=mk\qquad(k\in \mathbb{N}^{*})$. Ta có : $\dfrac{2^{n}-1}{2^{m}-1}=\dfrac{2^{mk}-1}{2^{m}-1}=1+2^{m}+2^{2m}+...+2^{m(k-1)}\equiv \underset{k}{\underbrace{1+1+...+1}}\equiv k$ $(mod2^m-1)$ Mà $(2^{m}-1)^{2}|2^{n}-1\Rightarrow \dfrac{2^{n}-1}{2^{m}-1}\equiv 0$ $(mod2^m-1)$ Do đó $k\equiv 0$ $(mod2^m-1)$ Suy ra $m(2^{m}-1)|mk\Rightarrow m(2^{m}-1)|n$. Đây là điều phải chứng minh.

Bài toán [Sự chia hết]

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : (Russia MO 1997) Cho $m, n$ là hai số nguyên dương sao cho $2^{n} - 1$ chia hết cho $(2^{m} - 1)^{2}$ . Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $m (2^{m} - 1)$ .

Lời giải :

Từ giả thiết ta có $2^{m} - 1∣ 2^{n} - 1 \Rightarrow m ∣ n$ . Đặt $n = mk (k \in N^{*})$ .

Ta có : $\frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{m} - 1} = \frac{2 ^{mk} - 1}{2 ^{m} - 1} = 1 + 2^{m} + 2^{2 m} + ... + 2^{m (k - 1)} \equiv k 1 + 1 + ... + 1 \equiv k$ $(m o d 2^{m} - 1)$

Mà $(2^{m} - 1)^{2} ∣ 2^{n} - 1 \Rightarrow \frac{2 ^{n} - 1}{2 ^{m} - 1} \equiv 0$ $(m o d 2^{m} - 1)$

Do đó $k \equiv 0$ $(m o d 2^{m} - 1)$

Suy ra $m (2^{m} - 1) ∣ mk \Rightarrow m (2^{m} - 1) ∣ n$ . Đây là điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : (Russia MO 1997) Cho là hai số nguyên dương sao cho chia hết cho . Chứng minh rằng chia hết cho . Lời giải : Từ giả thiết ta có . Đặt . Ta có : Mà Do đó Suy ra . Đây là điều phải chứng minh.

Số họcChia hết - Đồng dư

Nguồn: julielltv