Bài toán [Cân bằng hệ số, Điểm rơi giả định]

Bài toán : Cho 3 số thực $x,y,z\ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^3+y^3+\frac{1}{2}{z}^3$

Lời giải :

Vì $x,y$ vai trò tương đương nhau nên đẳng thức xảy ra khi $x=y=a$ và $z=b$.

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$$b^2(x^3+a^3+a^3)\ge 3x{a}^2{b}^2$$

$$b^2(y^3+a^3+a^3)\ge 3y{a}^2{b}^2$$

$$a^2(z^3+b^3+b^3)\ge 3z{a}^2{b}^2$$

Cộng các BĐT trên vế theo vế :

$b^2(x^3+y^3)+a^2{z}^3+4a^3{b}^2+2b^3{a}^2$$\ge 3a^2{b}^2(x+y+z)$$=3a^2{b}^2$$\Rightarrow b^2(x^3+y^3)+a^2{z}^3$$\ge 3a^2{b}^2-4a^3{b}^2-2b^3{a}^2$

Ta sẽ chọn $a,b,c$ sao cho $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{1/2}=2$

Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình $\{\begin{array}{ccc}{b}^2=2a^2& & \\ 2a+b=1& & \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}a=\frac{2-\sqrt{2}}{2}& & \\ b=-1+\sqrt{2}& & \end{array}$

Khi đó $(3-2\sqrt{2})(x^3+y^3)+\frac{3-2\sqrt{2}}{2}{z}^3\ge \frac{17-12\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^3+y^3+\frac{1}{2}{z}^3\ge \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Vậy : $MinP=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\iff x=y=\frac{2-\sqrt{2}}{2},z=-1+\sqrt{2}$