Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, LTE]

Bài toán (Ireland 1996) : Cho số nguyên tố $p$ và $a,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2^p+3^p=a^n$ thì $n=1$.

Lời giải :

Gỉa sử $n>1$ :

Nếu $p=2$ thì $a^n=13\Rightarrow n=1$

Nếu $p$ lẻ, ta có $5|2^p+3^p\Rightarrow 5|a^n\Rightarrow 5^n|a^n(1)$

Nếu $p=5$ thì $a^n=275\Rightarrow n=1$, xét $p\ne 5\Rightarrow 5\nmid p$

Theo bổ đề $LTE$ :

$v_5(2^p+3^p)$$=v_5(2+3)+v_5(p)$$=1$$\Rightarrow 5\parallel 2^p+3^p$$\Rightarrow 5\parallel a^n(2)$

Rõ ràng $(1),(2)$ mâu thuẫn nhau. Do đó phải có $n=1$.

*Lưu ý : Cách khác để chứng minh $5\parallel 2^p+3^p$

Ta có $2^p+3^p=5(2^{p-1}-2^{p-2}.3+...-2.3^{p-2}+3^{p-1})$

Mà $-3\equiv 2(mod5)\Rightarrow 2^{p-1}-2^{p-2}.3+...-2.3^{p-2}+3^{p-1}\equiv p.2^{p-1}(mod5)$

Dễ thấy $p=5$ thì $n=1$, do đó xét $p\ne 5\Rightarrow 5\nmid p\Rightarrow 5\nmid 2^{p-1}-2^{p-2}.3+...-2.3^{p-2}+3^{p-1}\Rightarrow 5\parallel 2^p+3^p$