Bài toán [Đa thức]

Bài toán : Cho đa thức $P (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức $Q (x)$ bậc $n$ ( $n$ là số nguyên dương) sao cho $Q [P (x)] \equiv P [Q (x)]$ .

Lời giải :

Nếu ta chứng minh được trường hợp không tồn tại hai đa thức thỏa đề thì hiển nhiên sẽ không tồn tại nhiều hơn hai đa thức thỏa đề. Gỉa sử tồn tại hai đa thức thỏa mãn đề bài :

$Q_{1} (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} (a_{n} \neq = 0)$ và $Q_{2} (x) = \sum_{j = 0}^{n} b_{j} x^{j} (b_{n} \neq = 0)$

Theo đề bài ta có :

$Q_{1} [P (x)] \equiv P [Q_{1} (x)] \Leftrightarrow a_{n} (a x^{2} + b x + c)^{n} + ... + a_{1} (a x^{2} + b x + c) + a_{0} = a (a_{n} x^{n} + ... + a_{1} x + a_{0})^{2} + b (a_{n} x^{n} + ... + a_{1} x + a_{0}) + c$

Ta so sánh hệ số theo $x^{2 n}$ của hai vế : $a_{n} a^{n} = a a_{n}^{2} \Leftrightarrow a_{n} = a^{n - 1}$

Hoàn toàn tương tự, ta được $b_{n} = a^{n - 1}$ . Suy ra $a_{n} = b_{n}$ .

Đặt $R (x) = Q_{1} (x) - Q_{2} (x) (d e g R (x) = k < n)$

Ta xét $R [P (x)]$ , khi đó $d e g R [P (x)] = 2 k (1)$

Mặt khác :

$R [P (x)] = Q_{1} [P (x)] - Q_{2} [P (x)] = P [Q_{1} (x)] - P [Q_{2} (x)] = a (Q_{1} (x))^{2} + b . Q_{1} (x) - a (Q_{2} (x))^{2} - b . Q_{2} (x) = [Q_{1} (x) - Q_{2} (x)] [a (Q_{1} (x) + Q_{2} (x)) + b] = R (x) . T (x)$

Rõ ràng $d e g R (x) = k, d e g T (x) = n \Rightarrow d e g R [P (x)] = k n (2)$

$(1) (2)$ mâu thuẫn nhau vì $k < n$ . Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài toán [Đa thức]

Đề bài

Mô tả