Hệ thức Leibniz

Hệ thức Leibniz :

Cho tam giác $ABC$ và trọng tâm $G$. Chứng minh rằng :

$$G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$$

Lời giải :

Chứng minh 1:

Áp dụng hệ thức tính độ dài trung tuyến : $m_a^2=\frac{1}{4}\left(2b^2+2c^2-a^2\right)$

Ta có $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Lại chú ý rằng $GA=\frac{2}{3}{m}_a,GB=\frac{2}{3}{m}_b,GC=\frac{2}{3}{m}_c$

Ta suy ra : $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=\frac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=\frac{4}{9}.\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Chứng minh 2 :

Ta có

: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$$=\overrightarrow{0}$$\iff {\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$$=0$$\iff G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2+2.\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$$=0$$\Rightarrow 3(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2)-(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}{)}^2-{\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)}^2$$=0$$\iff 3(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2)-B{A}^2-C{B}^2-A{C}^2$$=0$$\iff G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$$=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

Đây là điều phải chứng minh