Bài toán [Bất đẳng thức, C-S]

Bài toán (Đề thi HSG toán 10 tỉnh Thái Nguyên 2011-2012) : Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng $\frac{(x+1)(y+1{)}^2}{3\sqrt[3]{z^2{x}^2}+1}+\frac{(y+1)(z+1{)}^2}{3\sqrt[3]{x^2{y}^2}+1}+\frac{(z+1)(x+1{)}^2}{3\sqrt[3]{y^2{z}^2}+1}\ge x+y+z+3$.

Lời giải :

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$\frac{(x+1)(y+1{)}^2}{3\sqrt[3]{z^2{x}^2}+1}$$=\frac{(x+1)(y+1{)}^2}{3\sqrt[3]{zx.z.x}+1}$$\ge \frac{(x+1)(y+1{)}^2}{zx+z+x+1}$$=\frac{(x+1)(y+1{)}^2}{(x+1)(z+1)}$$=\frac{(y+1{)}^2}{z+1}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế, ta cần chứng minh :

$$\frac{(y+1{)}^2}{z+1}+\frac{(z+1{)}^2}{x+1}+\frac{(x+1{)}^2}{y+1}\ge x+y+z+3$$

Điều này hiển nhiên đúng theo $Cauchy-Shwarz$.

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$.