Định lí Blanchet

Định lí Blanchet

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AK$, $H$ là điểm bất kì thuộc đoạn $AK$. Các tia $BH,CH$ lần lượt cắt các cạnh $AC,AB$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $KA$ là phân giác của góc $FKE$.

Chứng minh :

Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $BC$, $J$ là giao điểm của $AK$ với $EF$.

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\left(BCKI\right)=-1$ (đây là một hàng điểm điều hòa cơ bản)

Áp dụng định lí $Ceva$ cho tam giác $ABC$ với sự đồng quy của ba đường $AK,BE,CF$ :

$\frac{\overline{FA}}{FB}.\frac{\overline{KB}}{\overline{KC}}.\frac{\overline{EC}}{EA}$$=-1(1)$

Áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $ABC$ với sự thẳng hàng của ba điểm $F,E,I$ ta có :

$\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}.\frac{\overline{IB}}{\overline{IC}}.\frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}$$=1(2)$

Từ $(1)(2)$, ta có : $\frac{\overline{KB}}{\overline{KC}}=-\frac{\overline{IB}}{\overline{IC}}\Rightarrow (BCKI)=-1$

Theo định lí về chùm điều hòa ta có :

$\left(AB,AC,AK,AI\right)$$=-1$$\Rightarrow \left(FEJI\right)$$=-1$$\Rightarrow \left(KF,KE,KJ,KI\right)$$=-1$

Mà $KJ\perp KI$ ($AK$ là đường cao của tam giác $ABC$)

Do đó theo định lí về chùm điều hòa ta có $KJ$ là phân giác của góc $FKE$.

Vậy : $KA$ là phân giác của góc $FKE$.