Bài toán [Số chính phương, Phương trình nghiệm nguyên]

Bài toán : Tìm số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^3-4p+9$ là số chính phương.

Lời giải :

Đặt $p^3-4p+9=t^2(t\in \mathbb{N})$

Biến đổi thành : $p(p^2-4)=(t-3)(t+3)(1)\Rightarrow p|t-3\vee p|t+3$

$▼$ Trường hợp 1 : Nếu $p|t-3$. Đặt $t-3=pk(k\in \mathbb{N})$

Khi đó thay vào $(1)$ : $p(p^2-4)=pk.(t+3)\iff k(t+3)=p^2-4\Rightarrow p^2=kt+3k+4$

Mặt khác có $(t-3{)}^2=p^2{k}^2\Rightarrow t^2-6t+9=k^2(kt+3k+4)\iff t^2-t(6+k^3)+9-3k^3-4k^2=0$

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $t$, điều kiện cần để tồn tại nghiệm nguyên của phương trình là :

$$\Delta =(6+k^3{)}^2-4(9-3k^3-4k^2)=k^6+24k^3+16k^2=k^2(k^4+24k+16)$$

Là một số chính phương. Muốn vậy thì $k^4+24k+16$ phải là một số chính phương.

Mặt khác với $k>3$, ta dễ chứng minh được $(k^2{)}^2<k^4+24k+16<(k^2+4{)}^2$. Suy ra các trường hợp

+) $k^4+24k+16=(k^2+1{)}^2\iff 2k^2-24k-15=0$ (loại)

+) $k^4+24k+16=(k^2+2{)}^2\iff k^2-6k-3=0$ (loại)

+) $k^4+24k+16=(k^2+3{)}^2\iff 6k^2-24k-7=0$ (loại)

Do đó phải có $k\le 3$, thử trực tiếp được $k=3$ thỏa mãn. Từ đó tìm được $t=36,p=11$.

$▼$ Trường hợp 2 : Nếu $p|t+3$. Đặt $t+3=pk(k\in \mathbb{N})$.

Khi đó thay vào $(1)$, được : $p(p^2-4)=pk.(t-3)\Rightarrow p^2=kt-3k+4$

Mặt khác, ta có $(t+3{)}^2=p^2{k}^2\iff t^2+6t+9=k^2(kt-3k+4)\iff t^2+(6-k^3)t+9+3k^3-4k^2=0$

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn $t$, điều kiện cần để tồn tại nghiệm nguyên của phương trình trên là :

$$\Delta =(6-k^3{)}^2-4(9+3k^3-4k^2)=k^2(k^4-24k+16)$$

Là số chính phương. Muốn vậy thì $k^4-24k+16$ phải là số chính phương.

Mặt khác ta dễ chứng minh được rằng với $k>3$ thì $(k^2-4{)}^2<k^4-24k+16<(k^2{)}^2$. Suy ra các trường hợp :

+) $k^4-24k+16=(k^2-1{)}^2\iff 2k^2-24k+15=0$ (loại)

+) $k^4-24k+16=(k^2-2{)}^2\iff k^2-6k+3=0$ (loại)

+) $k^4-24k+16=(k^2-3{)}^2\iff 6k^2-24k+7=0$ (loại)

Do đó $k\le 3$. Thử trực tiếp thấy $k=3$ thỏa mãn, khi đó $t=3;18$, tương ứng $p=2;7$

Kết luận : $\boxed{p\in \left\{2;7;11\right\}}$