Bài toán [Tập hợp, Số chính phương]

Bài toán : Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ thỏa mãn tính chất :

Không tồn tại tập hợp gồm $p-1$ số nguyên dương liên tiếp mà có thể phân chia thành hai tập con rời nhau sao cho tích các phần tử thuộc tập này bằng tích các phần tử thuộc tập kia.

Lời giải :

Xét tập hợp $S=\left\{n+1,n+2,...,n+p-1\right\}$ gồm $p-1$ phần tử.

Theo đề bài thì $S$ sẽ được chia thành hai tập con mà tích các phần tử của mỗi tập hợp là bằng nhau, đó đó tích $A=(n+1)(n+2)...(n+p-1)$ phải là một số chính phương.

Nhận xét rằng trong $p-1$ số tự nhiên liên tiếp thì có nhiều nhất một số chia hết cho $p$.

• Nếu $S$ chứa một phần tử chia hết cho $p$ thì khi phân chia $S$ thành hai tập con và lấy tích các phần tử của mỗi tập hợp sẽ có một tích chia hết cho $p$, một tích không chia hết cho $p$ (loại)
• Nếu $S$ không chứa phần tử nào chia hết cho $p$ thì :

$A=(n+1)(n+2)...(n+p-1)\equiv \mathrm{1.2.3...}(p-1)=(p-1)!\equiv -1(modp)$ (Định lí $Wilson$)

Do đó $p|A+1$. Vì $A$ là số chính phương nên đặt $A=a^2(a\in {\mathbb{Z}}^{+})$

Chọn $p\equiv 3(mod4)$ thì do $p|a^2+1\Rightarrow p|1\Rightarrow p=1$ , điều này vô lí. Do đó không tồn tại tập hợp thỏa mãn đề bài. Mặt khác có vô số số nguyên tố dạng $4k+3$ nên ta có điều phải chứng minh