Bài toán : Cho các số nguyên tố $a,b,c$. Đặt $x = a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a$. Biết rằng $x^2=y$ và hiệu $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố. Tìm $a,b,c$ Lời giải : Đặt \[\sqrt{z}-\sqrt{y}=p^{2}\qquad(p\in \mathbb{P})\Leftrightarrow (z+y)-2\sqrt{zy}=p^{4}\Leftrightarrow (a+c-b)+(b+c-a)-2\sqrt{(a+c-b)(b+c-a)}=p^{4}\Leftrightarrow 2c-2\sqrt{(a+c-b)(b+c-a)}=p^{4}\Rightarrow 2|p\Rightarrow p=2\] Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình sau trên tập nghiệm nguyên tố : \[\left\{\begin{matrix} c-\sqrt{(a+c-b)(b+c-a)}=8 & (1)& \\ (a+b-c)^{2}=a+c-b&(2) & \end{matrix}\right.\] Từ $(1)$ : \[(c-8)^{2}=(a+c-b)(b+c-a)=c^{2}-(a-b)^{2}\Leftrightarrow (c-8)^{2}+(a-b)^{2}=c^{2}\] Đây là phương trình $Pytagore$, hiển nhiên $gcd(c-8,a-b,c)=1$ do đó nghiệm tổng quát của nó là : \[\left\{\begin{matrix} x=2mn & \\ y=m^{2}-n^{2} & \\ z=m^{2}+n^{2} & \end{matrix}\right.\] Trong đó $m,n\in \mathbb{Z}$, $gcd(m,n)=1$, $m,n$ khác tính chẵn lẻ. $\blacktriangledown$ Trường hợp 1 : $\left\{\begin{matrix} x=c-8=2mn & & \\ y=a-b=m^{2}-n^{2}& & \end{matrix}\right.$ Từ hệ dễ dàng suy ra $c=2$, khi đó từ $(2)$ : $(a+b-2)^{2}=a-b+2\qquad(*)$. Mặt khác dễ dàng thấy hai số $a,b$ khác tính chẵn lẻ. Do đó $a=2$ hoặc $b=2$, thay vào $(*)$ đều không thỏa mãn. $\blacktriangledown$ Trường hợp 2 : $\left\{\begin{matrix} x=a-b=2mn & & \\ y=c-8=m^{2}-n^{2} & & \end{matrix}\right.$ Mặt khác, $c=m^2+n^2$ suy ra $m^{2}+n^{2}-8=m^{2}-n^{2}\Rightarrow n=\pm 2$. $a)$ Nếu $n=2$ : $\left\{\begin{matrix} c=m^{2}+4 & & \\ a-b=4m& & \end{matrix}\right.$ Thay vào $(2)$ : $\left ( a+b-m^{2}-4 \right )^{2}=m^{2}+4+4m=(m+2)^{2}\Leftrightarrow a+b-m^{2}-4=m+2\vee a+b-m^{2}-4=-m-2$ Trường hợp $a+b-m^{2}-4=m+2$ , ta có $a-b=4m$. Từ đó suy ra $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{(m+2)(m+3)}{2} & & \\ b=\dfrac{m^{2}-3m+6}{2}& & \end{matrix}\right.$ Vì $gcd(m,n)=gcd(m,2)=1$ nên $m$ lẻ. Đặt $m=2k+1\qquad(k\in \mathbb{Z})$. Ta có $a=\dfrac{(m+2)(m+3)}{2}=\dfrac{(2k+3)(2k+4)}{2}=(2k+3)(k+2)$. Vì $a$ nguyên tố nên $2k+3=\pm 1$ hoặc $k+2=\pm 1$. Ta thấy $k=-3$ thỏa mãn vì khi đó $a=3$. Từ đó $m=-5,b=23,c=29$ Trường hợp $a+b-m^{2}-4=-m-2$ , ta có $a-b=4m$. Từ đó $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{(m+1)(m+2)}{2} & & \\ b=\dfrac{m^{2}-5m+2}{2} & & \end{matrix}\right.$ Tương tự trên ta thấy $m$ lẻ, đặt $m=2k+1\qquad(k\in \mathbb{Z})$. Khi đó $a=\dfrac{(m+1)(m+2)}{2}=\dfrac{(2k+2)(2k+3)}{2}=(k+1)(2k+3)$. Vì $a$ nguyên tố nên $2k+3=\pm 1$ hoặc $k+1=\pm 1$. Mọi giá trị của $k$ tìm được đều không thỏa mãn $b)$ Nếu $n=-2$. Giải tương tự trường hợp $a$. Kết luận : $\boxed{(a;b;c)=(3;23;29)}$

Bài toán [Số nguyên tố]

Bài toán : Cho các số nguyên tố $a, b, c$ . Đặt $x = a + b - c, y = a + c - b, z = b + c - a$ . Biết rằng $x^{2} = y$ và hiệu $z - y$ là bình phương của một số nguyên tố. Tìm $a, b, c$

Lời giải :

Đặt

$z - y = p^{2} (p \in P) \Leftrightarrow (z + y) - 2 z y = p^{4} \Leftrightarrow (a + c - b) + (b + c - a) - 2 (a + c - b) (b + c - a) = p^{4} \Leftrightarrow 2 c - 2 (a + c - b) (b + c - a) = p^{4} \Rightarrow 2∣ p \Rightarrow p = 2$

Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình sau trên tập nghiệm nguyên tố :

${c - (a + c - b) (b + c - a) = 8 (a + b - c)^{2} = a + c - b (1) (2)$

Từ $(1)$ :

$(c - 8)^{2} = (a + c - b) (b + c - a) = c^{2} - (a - b)^{2} \Leftrightarrow (c - 8)^{2} + (a - b)^{2} = c^{2}$

Đây là phương trình $P y t a g or e$ , hiển nhiên $g c d (c - 8, a - b, c) = 1$ do đó nghiệm tổng quát của nó là :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 mn y = m^{2} - n^{2} z = m^{2} + n^{2}$

Trong đó $m, n \in Z$ , $g c d (m, n) = 1$ , $m, n$ khác tính chẵn lẻ.

$▼$ Trường hợp 1 : ${x = c - 8 = 2 mn y = a - b = m^{2} - n^{2}$

Từ hệ dễ dàng suy ra $c = 2$ , khi đó từ $(2)$ : $(a + b - 2)^{2} = a - b + 2 (*)$ .

Mặt khác dễ dàng thấy hai số $a, b$ khác tính chẵn lẻ. Do đó $a = 2$ hoặc $b = 2$ , thay vào $(*)$ đều không thỏa mãn.

$▼$ Trường hợp 2 : ${x = a - b = 2 mn y = c - 8 = m^{2} - n^{2}$

Mặt khác, $c = m^{2} + n^{2}$ suy ra $m^{2} + n^{2} - 8 = m^{2} - n^{2} \Rightarrow n = \pm 2$ .

$a)$ Nếu $n = 2$ : ${c = m^{2} + 4 a - b = 4 m$

Thay vào $(2)$ : $(a + b - m^{2} - 4)^{2} = m^{2} + 4 + 4 m = (m + 2)^{2} \Leftrightarrow a + b - m^{2} - 4 = m + 2 \lor a + b - m^{2} - 4 = - m - 2$

Trường hợp $a + b - m^{2} - 4 = m + 2$ , ta có $a - b = 4 m$ . Từ đó suy ra $⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{( m + 2 ) ( m + 3 )}{2} b = \frac{m ^{2} - 3 m + 6}{2}$

Vì $g c d (m, n) = g c d (m, 2) = 1$ nên $m$ lẻ. Đặt $m = 2 k + 1 (k \in Z)$ . Ta có $a = \frac{( m + 2 ) ( m + 3 )}{2} = \frac{( 2 k + 3 ) ( 2 k + 4 )}{2} = (2 k + 3) (k + 2)$ .

Vì $a$ nguyên tố nên $2 k + 3 = \pm 1$ hoặc $k + 2 = \pm 1$ . Ta thấy $k = - 3$ thỏa mãn vì khi đó $a = 3$ . Từ đó $m = - 5, b = 23, c = 29$

Trường hợp $a + b - m^{2} - 4 = - m - 2$ , ta có $a - b = 4 m$ . Từ đó $⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{2} b = \frac{m ^{2} - 5 m + 2}{2}$

Tương tự trên ta thấy $m$ lẻ, đặt $m = 2 k + 1 (k \in Z)$ . Khi đó $a = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 )}{2} = \frac{( 2 k + 2 ) ( 2 k + 3 )}{2} = (k + 1) (2 k + 3)$ .

Vì $a$ nguyên tố nên $2 k + 3 = \pm 1$ hoặc $k + 1 = \pm 1$ . Mọi giá trị của $k$ tìm được đều không thỏa mãn

$b)$ Nếu $n = - 2$ . Giải tương tự trường hợp $a$ .

Kết luận : $(a; b; c) = (3; 23; 29)$

Bài toán [Số nguyên tố]

Đề bài

Mô tả