Bài toán [Hệ thức hình học, hàng điều hòa]

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc $A$. Qua $I,J$ lần lượt kẻ các đường thẳng $DE,FG$ song song với $BC$ với $D,F$ thuộc đường thẳng $AB$ và $E,G$ thuộc đường thẳng $AC$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{\overline{DE}}+\frac{1}{\overline{FC}}=\frac{2}{\overline{BC}}$

Lời giải :

Gọi $K$ là giao điểm của $AJ$ với $BC$

Ta sẽ chứng minh rằng $(ABDF)=-1$.

Thật vậy, ta có $(AKIJ)=-1$ (hàng điều hòa tia phân giác)

Do đó $\frac{\overline{IA}}{\overline{IK}}=-\frac{\overline{JA}}{\overline{JK}}$

Mà theo định lí $Thales$ : $\frac{\overline{IA}}{\overline{IK}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{\overline{DB}}},\frac{\overline{JA}}{\overline{JK}}=\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\Rightarrow \frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=-\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\Rightarrow (ABDF)=-1$

Theo hệ thức $Decartes$, ta có :

$\frac{2}{\overline{AB}}$$=\frac{1}{\overline{AD}}+\frac{1}{\overline{AF}}$$\iff \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{AB}}{\overline{AF}}$$=2$

Mà cũng theo định lí $Thales$ : $\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DE}},\frac{\overline{AB}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{FC}}\Rightarrow \frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}+\frac{\overline{BC}}{\overline{FG}}=2\Rightarrow \frac{1}{\overline{DE}}+\frac{1}{\overline{FG}}=\frac{2}{\overline{BC}}$

Đây là điều phải chứng minh.