Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của một hệ điểm Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{i},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ bất kì, ta có : \[MI^{2}=\alpha _{1}MA_{1}^{2}+\alpha _{2}MA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}MA_{n}^{2}\] \[-\left ( \alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha _n A_{n-1}A_{n}^{2}\right )\] Lời giải : Bổ đề : Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ và $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}\neq 0$ thì khi đó ta có : \[\alpha _{1}IA_{1}^{2}+\alpha _{2}IA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}IA_{n}^{2}\] \[=\dfrac{1}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}(\alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}\] \[+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha _n A_{n-1}A_{n}^{2})\] Xem chứng minh tại đây Trở lại bài toán : Áp dụng bổ đề trên với $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ : \[\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}IA_{i}^{2}=\alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha n A_{n-1}A_{n}^{2}\qquad(1)\] Mặt khác theo hệ thức $Jacobi$, ta còn có : \[\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}MA_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}IA_{i}^{2}+\left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i} \right )MI^{2}=\sum_{i=1}^{n}IA_{i}^{2}+MI^{2}\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}IA_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}MA_{i}^{2}-MI^{2}\qquad(2)\] Từ $(1)(2)$ ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của hệ điểm

Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của một hệ điểm

Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{i}, α_{2}, ..., α_{n}}$ thỏa mãn $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = 1$ . Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ bất kì, ta có :

$M I^{2} = α_{1} M A_{1}^{2} + α_{2} M A_{2}^{2} + ... + α_{n} M A_{n}^{2}$

$- (α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2} + α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α_{n} A_{n - 1} A_{n}^{2})$

Lời giải :

Bổ đề : Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm ${A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}$ với các hệ số tương ứng ${α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}}$ và $α_{1} + α_{2} + ... + α_{n} \neq = 0$ thì khi đó ta có :

$α_{1} I A_{1}^{2} + α_{2} I A_{2}^{2} + ... + α_{n} I A_{n}^{2}$ $= \frac{1}{α _{1} + α _{2} + ... + α _{n}} (α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2}$ $+ α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α_{n} A_{n - 1} A_{n}^{2})$

Xem chứng minh tại đây

Trở lại bài toán :

Áp dụng bổ đề trên với $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} = 1$ :

$i = 1 \sum n α_{i} I A_{i}^{2} = α_{1} α_{2} A_{1} A_{2}^{2} + α_{1} α_{3} A_{1} A_{3}^{2} + ... + α_{1} α_{n} A_{1} A_{n}^{2} + α_{2} α_{3} A_{2} A_{3}^{2} + α_{2} α_{4} A_{2} a_{4}^{2} + ... + α_{2} α_{n} A_{2} A_{n}^{2} + .... + α_{n - 1} α n A_{n - 1} A_{n}^{2} (1)$

Mặt khác theo hệ thức $J a co bi$ , ta còn có :

$i = 1 \sum n α_{i} M A_{i}^{2} = i = 1 \sum n I A_{i}^{2} + (i = 1 \sum n α_{i}) M I^{2} = i = 1 \sum n I A_{i}^{2} + M I^{2} \Rightarrow i = 1 \sum n I A_{i}^{2} = i = 1 \sum n α_{i} M A_{i}^{2} - M I^{2} (2)$

Từ $(1) (2)$ ta có điều phải chứng minh.

[Bài toán] Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của hệ điểm

Đề bài

Mô tả