[Bài toán] Xác định đa thức

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đồng nhất thức $x.P(x-1)=(x-k).P(x)$ với $k\in \mathbb{Z},k>1$

Lời giải :

Cho $x=0$ ta có $P(0)=0$

Cho $x=1$ ta có $(1-k)P(1)=P(0)=0\Rightarrow P(1)=0$

Cho $x=2$ ta có $(2-k)P(2)=2P(1)=0\Rightarrow P(2)=0$

….

Cho $x=k$ ta có $k.P(k-1)=0\Rightarrow P(k-1)=0$

Như vậy đa thức $P(x)$ có các nghiệm $x\in \left\{0,1,2,...,k-1\right\}$

Đặt $P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-k+1).Q(x)$

Ta suy ra $P(x-1)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-k).Q(x-1)$

Thay vào phương trình đa thức ban đầu :

$x.(x-1)(x-2)...(x-k).Q(x-1)$$=(x-k).x(x-1)(x-2)...(x-k+1).Q(x)\forall x$$\iff Q(x-1)$$=Q(x)\forall x$$\iff Q(x)$$\equiv C$

Như vậy $P(x)=C.x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$. Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức cần tìm là $P(x)=C.x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$ với $C$ là số thực tùy ý.