[Bài toán] Bất đẳng thức thuần nhất, Phép chuẩn hóa

 Bài toán : (Serbia-Montenegro 2005) Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng : 

$$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$$

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=\frac{3}{2}$. Khi đó ta cần chứng minh :

$$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \frac{3}{2}$$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$$\ge \frac{{\left(a+b+c\right)}^2}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}}$$=\frac{9}{4\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)}$

Ta cần chứng minh :

$\frac{9}{4\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)}$$\ge \frac{3}{2}$$\iff a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$$\le \frac{3}{2}$

Thật vậy, cũng theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}{)}^2$$\le \left(a+b+c\right)\left(2ab+2bc+2ca\right)$$\le (a+b+c).2.\frac{(a+b+c{)}^2}{3}$$=\frac{9}{4}$$\Rightarrow a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$$\le \frac{3}{2}$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$