[Bài toán] Hệ thức hình học

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đặt $a^{\prime }=EF,c^{\prime }=DE,b^{\prime }=FD$ và gọi $S^{\prime },S$ lần lượt là diện tích các tam giác $DEF,ABC$.

a) Chứng minh rằng $\frac{a^{\prime }}{a}+\frac{b^{\prime }}{b}=2sin\frac{C}{2}\left(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}\right)$

b) Chứng minh rằng $\frac{S^{\prime }}{S}=2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

Lời giải :

a) Với chú ý rằng $IA,IB$ lần lượt là đường kính của các đường tròn $(AEF),(BFD)$ nên theo định lí hàm số sin :

$\frac{a^{\prime }}{a}+\frac{b^{\prime }}{b}$$=\frac{2R_{AEF}.sinA}{2R.sinA}+\frac{2R_{BFD}.sinB}{2R.sinB}$$=\frac{IA+IB}{2R}$$=\frac{2R_{IAB}.sin\frac{B}{2}+2R_{IAB}sin\frac{a}{2}}{2R}$$=\frac{R_{IAB}}{R}.\left(sin\frac{a}{2}+sin\frac{B}{2}\right)$

Ta cần chứng minh : $\frac{R_{IAB}}{R}=2sin\frac{C}{2}$

Thật vậy, nếu ta gọi $I^{\prime }$ là giao điểm của tia $CI$ với $(ABC)$ thì dễ dàng chứng minh được $I^{\prime }$ chính là tâm đường tròn $(IAB)$. Khi đó áp dụng định lí hàm số sin vào tam giác $I^{\prime }BC$, ta có :

$$\frac{I^{\prime }B}{sin\frac{C}{2}}=2R\iff \frac{R_{IAB}}{R}=2sin\frac{C}{2}$$.

Như vậy ta có đpcm.

b)  Ta có bổ đề quen thuộc sau  $\frac{r}{4R}=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

$S^{\prime }$$=S_{EIF}+S_{IFD}+S_{IDE}$$=\frac{1}{2}\left(IE.IF.sin\widehat{IEF}+IF.IF.sin\widehat{FID}+ID.IE.sin\widehat{EID}\right)$$=\frac{1}{2}{r}^2\left(sinA+sinB+sinC\right)$

$$S=pr=\frac{1}{2}(a+b+c)r=Rr(sinA+sinB+sinC)$$

Do đó : $\frac{S^{\prime }}{S}=\frac{r^2/2.(sinA+sinB+sinC)}{rR(sinA+sinB+sinC)}=\frac{r}{2R}=2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

Đây là đpcm.